【每日一题】20250406

记 \(S_n\) 为等差数列 \(\{a_n \}\) 的前 \(n\) 项和，若 \(a_3=3\)，\(S_4=10\)，则 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{S_i}=\)________．
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 \(O\) 的一段圆弧 \(MPN\)（\(P\) 为此圆弧的中点）和线段 \(MN\) 构成．已知圆 \(O\) 的半径为 \(40\) 米，点 \(P\) 到 \(MN\) 的距离为 \(50\) 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 \(\mathrm{I}\) 内的地块形状为矩形 \(ABCD\)，大棚 \(\mathrm{II}\) 内的地块形状为 \(\triangle CDP\)，要求 \(A\)，\(B\) 均在线段 \(MN\) 上，\(C\)，\(D\) 均在圆弧上．若大棚 \(\mathrm{I}\) 内种植甲种蔬菜，大棚 \(\mathrm{II}\) 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 \(4:3\)．记 \(OC\) 与 \(MN\) 所成的角为 \(\theta\)，则下列说法正确的序号为__________．（写出所有符合题目要求的序号）
① \(\theta\) 存在最值
② \(\sin\theta\) 的取值范围是 \((0,1)\)
③ \(\triangle CDP\) 的面积为 \(1600\cos\theta(1-\sin\theta)\)
④ 矩形 \(ABCD\) 的面积为 \(3200\cos\theta(1+\sin\theta)\)
⑤ 甲、乙两种蔬菜的年总产值为 \(8000\cos\theta(1-\sin\theta)\)
⑥ 当 \(\theta\) 增大时，\(\triangle CDP\) 的面积先增大后减小
⑦ 当 \(\theta\) 减小时，矩形 \(ABCD\) 的面积先增大后减小
⑧ 当 \(\displaystyle \theta=\frac\pi4\) 时，甲、乙两种蔬菜的年总产值最大