【每日一题】20250326

【每日一题】

1.（17分）
\(\hspace{0.7cm}\)已知椭圆 \(C\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，四点 \(P_1(1,1)\)，\(P_2(0,1)\)，\(\displaystyle P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\displaystyle P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})\) 中恰有三点在椭圆 \(C\) 上．
\(\hspace{0.7cm}\)（1）求 \(C\) 的离心率；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）设直线 \(l\) 不经过 \(P_2\) 点且与 \(C\) 相交于 \(A\)，\(B\) 两点．若直线 \(P_2A\) 与直线 \(P_2B\) 的斜率的和为 \(-1\)，证明：\(l\) 过定点．