【每日一题】20250329

【每日一题】

1.（17分）
$\hspace{0.7cm}$品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按其品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
$\hspace{0.7cm}$现设 $n=4 $，分别以 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 表示第一次排序时被排为 $1$，$2$，$3$，$4$ 的四种酒在第二次排序时的序号，并令

\[X=\mid1-a_1\mid+\mid2-a_2\mid+\mid3-a_3\mid+\mid4-a_4\mid, \]

则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述．
$\hspace{0.7cm}$（1）写出 $X$ 的可能值集合；
$\hspace{0.7cm}$（2）假设 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 等可能地为 $1$，$2$，$3$，$4$ 的各种排列，求 $X$ 的分布列；
$\hspace{0.7cm}$（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 $X \leqslant 2$，
$\hspace{0.7cm}$（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假设各轮测试相互独立）；
$\hspace{0.7cm}$（ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．