【每日一题】20250325

【每日一题】

1.（18分）
\(\hspace{0.7cm}\)如图所示，质量为 \(M\)、倾角为 \(\alpha\) 的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为 \(\mu\)，斜面顶端与劲度系数为 \(k\)、自然长度为 \(L\) 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为 \(m\) 的物块．压缩弹簧使其长度为 \(\displaystyle \frac{3}{4} L\) 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为 \(g\)．
\(\hspace{0.7cm}\)（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用 \(x\) 表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
\(\hspace{0.7cm}\)（3）求弹簧的最大伸长量；
\(\hspace{0.7cm}\)（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数 \(\mu\) 应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？