【每日一题】20250302

【每日一题】

1.（15分）
\(\hspace{0.7cm}\)十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图 \(1\) 所示，十字测天仪由杆 \(AB\) 和横档 \(CD\) 构成，并且 \(E\) 是 \(CD\) 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图 \(2\)，手持十字测天仪，使得眼睛可以从 \(A\) 点观察．滑动横档 \(CD\) 使得 \(A\)，\(C\) 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点 \(D\) ， \(DE\) 的影子恰好是 \(AE\)．然后，通过测量 \(AE\) 的长度，可计算出视线和水平面的夹角 \(\angle CAD\)（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

\(\hspace{0.7cm}\)（1）在某次测量中，\(AE = 40\)，横档的长度为 \(20\)，求太阳高度角的正弦值；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）在杆 \(AB\) 上有两点 \(A_1\)，\(A_2\) 满足 \(\displaystyle AA_1=\frac12AA_2\)．当横档 \(CD\) 的中点 \(E\) 位于 \(A_i \; (i=1,2)\) 时，记太阳高度角为 \(\alpha_i\)，其中 \(\alpha_1\)，\(\alpha_2\) 都是锐角．证明：\(\alpha_1<2\alpha_2\)．