【每日一题】20250226

【每日一题】

1.（15分）
\(\hspace{0.7cm}\)已知数列 \(\{a_n \}\) 和 \(\{b_n \}\) 满足 \(a_1a_2a_3\cdots a_n=(\sqrt{2})^{b_n}\)．若 \(\{a_n \}\) 为等比数列，且 \(a_1=2\)，\(b_3=6+b_2\)．
\(\hspace{0.7cm}\)（1）求 \(\{a_n\}\) 与 \(\{b_n\}\) 的通项公式；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）设 \(\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}(n\in\mathbf{N}^\ast)\)，求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nc_i\)，并证明：\(\displaystyle\sum_{i=1}^nc_i \leqslant \sum_{i=1}^4c_i\)．