【每日一题】20250327

【每日一题】

1.（5分）
\(\hspace{0.7cm}\)若函数 \(f\left(x\right)=2x^{3}-ax^{2}+1 \; (a\in\mathbf{R})\) 在 \((0,+\infty)\) 内有且只有一个零点，则 \(f(x)\) 在 \([-1,1]\) 上的最大值与最小值的和为____________．

2.（15分）
\(\hspace{0.7cm}\)已知数列 \(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\) 和 \(\{c_n\}\) 满足：

\[a_{n+1}=\frac14b_n \]

\[b_{n+1}=a_n+c_n+\frac12b_n \]

\[c_{n+1}=\frac14b_n \]

且 \(a_n+b_n+c_{n}=1\)，\(a_1=0\)，\(b_1=1\)，\(\displaystyle b_2=\frac12\)．若 \(|a_n| \leqslant A\)，\(|b_n| \leqslant B\) 和 \(|c_n| \leqslant C\) 均恒成立．求：
\(\hspace{0.7cm}\)（1）\(a_2\)，\(b_4\)；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\) 和 \(\{c_n\}\) 的通项公式；
\(\hspace{0.7cm}\)（3）\(A\)，\(B\) 和 \(C\)；
\(\hspace{0.7cm}\)（4）\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}ib_i\)．