【每日一题】20250415

已知 \(\odot C\) 与 \(y\) 轴相切于点 \((0,2)\)，与 \(x\) 轴交于 \(A\)，\(B\) 两点，且 \(|AB|=4\)，则 \(\odot C\) 的标准方程为_________．
(5分)
\(\hspace{0.7cm}\)已知函数\(\displaystyle f(x)=\ln (-2x^3+5^2)-\log_9{(3x^2-2)}+2e^{-3x^2}+5^{-3x}-(3x-5)^6(2-x)^3(6-7x^2)^2,\)求 \(f(x)\) 的导数．
(13分)
\(\hspace{0.7cm}\)将一个正四面体某正三角形面朝下放在桌面上，此时与桌面所接触的正三角形面表示为初始接触面 \(\alpha\)．现任意选择初始接触面 \(\alpha\) 的一边，以此边为转动轴推动正四面体，使得与转动轴相邻的另一面朝下．
\(\hspace{0.7cm}\)（1）定义操作方案如下：重复推动 \(3\) 次的过程中，初始接触面 \(\alpha\) 与桌面接触的次数记为 \(X\)．
\(\hspace{0.7cm}\)（i）若对该方案进行 \(1\) 次操作，求 \(X\) 的分布列；
\(\hspace{0.7cm}\)（ii）若对该方案进行 \(20\) 次独立操作，每次操作完毕后均手动将初始接触面 \(\alpha\) 与桌面接触，记 \(Y\) 为 \(X=1\) 的次数．求 \(EY\)；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）若 \(p_n\) 表示为重复推动 \(n\) 次后，初始接触面 \(\alpha\) 再次与桌面接触的概率．
\(\hspace{0.7cm}\)（i）证明：\(\displaystyle \{p_n-\frac14\}\) 为等比数列；
\(\hspace{0.7cm}\)（ii）求 \(p_n\) 的上限与下限，并说明 \(p_n\) 的变化情况．