[置顶] 1D1D动规优化初步

例题一：

货物运输，大意：

给出N个点的坐标与需要你送过去的钱数(第一个点不需要钱)，身上带钱的数目有最大值，由初始在的1点，按顺序经历每个点(中途可以回1点，回去钱就满了)，问最小走的路程是多少(最后要回到原点)，N<=50000。

观察题目，很容易写出转移方程：f[i]=min{f[j]+dis[j+1]+dis[i]+sum[i]-sum[j]}。

f[i]表示经历过前i个点并且回到原点经历的最小路程，dis[i]表示i点到原点的路程，sum[i]表示前i个点需要的总钱数。

然而这个转移是O(N)的，所以总复杂度就是O(N^2)的，50000的数据明显是不够的。

重新观察方程,可以转化为:f[i]=min{f[j]+dis[j+1]-sum[j]}+dis[i]+sum[i].

即:f[i]=min or max{a[j]}+b[i];

其中dis[i]+sum[i]==b[i]是常量，(f[j]+dis[j+1]-sum[j])==a[j]是变量，我们需要的是最小的a[j]，所以用一个单调队列维护它就够了。

例题二：

玩具装箱：

 

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

.in

5 4
3
4
2
1
4

.out

1

很容易发现转移方程： f[i]=min{f[j]+(i-j+sum[i]-sum[j]-L)^2}

然而这样做时间复杂度是O(N^2)的，无法解决这个问题。

有经验的人可以发现，这个转移方程可以视为： f[i]=min{f[j]+w[j][i]}，经证明后发现这个转移时满足四边形不等式的(具体证法见 http://baike.baidu.com/link?url=PR0x-4hE-M7qSJFKgIRLyO9xHK4EhbiCUTex7ppLRmG0ceilhtA54mnR8wdvP_OoVidg5oAbaxE1YwcsFUAZQK)，其实实际我们可以直接打一个决策表，毕竟我们是要写朴素来对拍的。

然后有什么用呢？

这可以带给我们一个性质：决策单调性：对于i<j时，用来转移j的决策绝对不小于用来转移i的决策。

具体图表如下：

最先是最优决策是：

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

然后变成：

111111111111111111111111111111111112222222222222222222222222222222222222222

再然后变成：

111111111111111111111111111111111112222222222222222222223333333333333333333

或者 111111111111111111133333333333333333333333333333333333333333333333333333333

这样我们就可以用二分来找到它的转变点。总的来说，就是维护一个最优决策队列。

操作如下：

1.由队首向后踢非最优解出队列；

2.得到当前i的最优解；

3.将i加入队尾，期间由队尾向前踢非最优解出队列。

具体时间复杂度为O(NlogN)

例题三：

玩具装箱：

同第二题。

我们注意到，将转移方程中平方打开可以得到：(a[i]=sum[i]+i)

f[i]=min{f[j]+a[j]^2-2(a[i]-L)a[j]}+P;

当把a[j]当做x，f[j]+a[j]^2当做y，将决策j当做一个坐标时，我们可以讲转移方程转化为：

y=2kx+f[i]+P;

此时我们需要做的就是最小化截距。

此时可以发现斜率k是逐渐增大的,x也是逐渐增大的。

而对于一个固定的i，斜率k也是固定的，什么才是最小截距？

想象一条斜率固定的直线由负无穷向上平移，所碰触到得第一个点就是能转移过来的最优决策点，怎么实现呢？

同样，还是维护一个单调队列，这不过这个队列满足的是斜率单调。

具体时间复杂度为O(N)。

完美解决。