x+2y+3z=n的非负整数解数

题目：给一个正整数n，范围是[1,10^6]，对于方程：x+2y+3z = n，其中x，y，z为非负整数，求有多少个这样的三元组

(x,y,z)满足此等式。

 

分析：先看x+2y=m，很明显这个等式的非负整数解数目为m/2 + 1，然后再看x+2y+3z = n，设k=n/3，那么它的解数目为：

ans = n/2+1+(n-3)/2+1+...+(n-3k)/2+1

 

所以就有：

LL Work(int n)
{
    LL ans = 0;
    for(int i=0;i<=n/3;i++)
        ans += (n - 3*i)/2 + 1;
    return ans;
}

进一步优化，我们不使用循环，直接合并，得到：

LL Work(LL n)
{
    LL k = n/3;
    LL ans = (n+2)*(k+1) - 3*k*(k+1)/2;
    if(k%2!=0 && ans%2==0)
        ans -= k/2+1;
    else
        ans -= k/2;
    return ans/2;
}