马尔可夫方程的解

首先马尔可夫方程是这样一个方程：

，其中x，y，z为正整数。

 

那么关于它有几个结论：

(1)它有无穷多组解。

(2)如果x=a，y=b，z=c是它的一组解，那么x=a，y=b，z=3ab-c是它的另一组解。

(3)它的每一组解都能从x=1，y=1，z=1这组解开始通过(2)中的结论迭代产生。

 

在此方程解中出现的数称为马尔可夫数，分别是：1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985等。

它们组成的解是：(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433)

 

马尔可夫数可以排成一棵二叉树。如下图

和1的范围相邻的数（即2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契数，那么都是此方程的解。

和2的范围邻接的数（即1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数。

和斐波那契数列类似，佩尔数的定义是：

所以同理也都是马尔可夫方程的解。

 

 

丢番图方程：的每一个解(A,B,C)都能通过A=3a，B=3b，C=3c产生，其中(a,b,c)是马尔可夫方

程：的解。

 

另外对于丢番图方程：来说，只有在k等于1或者3时才有非零解。