自然数幂和问题

关于自然数幂和，一些公式如下：

 

那么这些公式如何推导的呢？

 

我们可以由：

 

对不同的1，2，3，4，...，累加，那么很容易得到：

 

 

所以可以进一步得到：

 

 

可以看出这是一个递推式。

 

另外自然数幂和还有一个伯努利的公式：

 

其中称为伯努利数，的递推关系是：，n从2开始，其中

 

推导过程用：

另外自然数幂和还有一个近似公式：

 

 

关于伯努利数：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E6%95%B0