AtCoder Beginner Contest 272 G // 随机化

题目来源：AtCoder Beginner Contest 272 G - Yet Another mod M

题目链接：ABC272 G - Yet Another mod M

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题意

给定一个大小为\(N\)，元素各不相同的数组\(A\)。

求一个数字\(M\)，满足：\(3 \le M \le 10^9\)，令\(A_1 := A_1\ mod\ M,\ A_2 := A_2\ mod\ M,\ ...,\ A_n := A_n\ mod\ M\)，新数组\(A\)中存在绝对众数\(x\)，使得等于\(x\)的元素个数严格大于不等于\(x\)的元素个数；若不存在，输出\(-1\)。

数据范围：\(3 \le N \le 5000\)，\(1 \le A_i \le 10^9\).

思路：随机化

对于数组中两个元素\(x\)、\(y\)，若他们均为众数，则有：\(x\ mod\ M \equiv y\ mod\ M \Leftrightarrow (x - y)\ mod\ M \equiv 0\)。即有，\(M\)为\(|x-y|\)的因子。

考虑从数组中随机取两个元素，若存在满足条件的\(M\)，则取到两个众数的概率为\(\large \frac{1}{4}\)，在第 \(k\) 次才取到均为众数的两个元素的概率为\(1 - \large (\frac{3}{4})^k\)。因此，随机地取个几十次，肯定能取到两个均为众数的元素，若还取不到，应该就是不存在这样的\(M\)。

于是每次随机取两个元素后，枚举他们的因子作为\(M\)，判断下是否能满足条件。若满足条件则输出答案，结束循环；否则在循环一定次数后，输出\(-1\)表示无解。

记循环次数为\(\omega\)，枚举的因数总个数为\(cnt\)，则时间复杂度：\(O(\omega·\sqrt{A_i} + cnt·N)\).

\(\omega\)的大小取\(100\)已经足够大了，\([1,10^9]\)范围内的数，约数个数最多为\(1344\)，因此\(cnt < \omega·1344\)，这样极限复杂度为\(O(\omega·(\sqrt{A_i}+1344N))\)，大概\(6.75·10^8\)，但实际上的复杂度肯定还要更小。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;

const int N = 5010;

int n, a[N];

bool check(int M, int rem)
{
	if(M < 3) return false;

	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(a[i] % M == rem) ++ cnt;
	}
	return cnt >= n / 2 + 1;
}

int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);

	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

	for(int cnt = 1; cnt <= 100; cnt++) {
		int x = a[rand() % n + 1], y = a[rand() % n + 1];
		int d = abs(x - y);
		for(int i = 1; i <= d / i; i++) {
			if(d % i) continue;
			int M = i;
			if(check(M, x % M)) {
				cout << M << endl;
				//for(int j = 1; j <= n; j++) cout << a[j] % M << " ";
				return 0;
			}
			M = d / i;
			if(check(M, x % M)) {
				cout << M << endl;
				//for(int j = 1; j <= n; j++) cout << a[j] % M << " ";
				return 0;
			}
		}
	}
	cout << -1 << endl;

	return 0;
}