开放地址法

开放地址法（Open Addressing，也称开放寻址法）是解决哈希表哈希冲突（Collision）的一种核心方法。它的核心思想是：所有元素都直接存储在哈希表数组内部，不使用任何外部数据结构（如链表）。

当插入一个新元素时，如果通过哈希函数计算出的位置已经被占用，程序不会在这个位置拉出链表，而是按照某种规则在数组中往后“探查（Probing）”，直到找到一个空的槽位（Bucket）并将其存入。

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一、 开放地址法的插入逻辑

假设哈希表长度为 \(M\)，插入键值对 \((key, value)\) 的步骤如下：

1. 计算初始位置：计算 \(idx = h(key) \bmod M\)。
2. 检查槽位：

• 如果 table[idx] 为空，或者带有已删除（TOMBSTONE）标记，直接将元素写入该位置，插入成功。
• 如果 table[idx] 已有其他元素（发生冲突），则进入探查流程。

3. 计算下一个位置：根据预设的探查公式计算 \(idx_{next}\)，重复步骤 2，直到找到空位置或遍历完整个表（触发扩容）。

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二、 常见的 3 种探查规则

假设初始哈希位置为 \(h_0 = h(key) \bmod M\)，第 \(i\) 次探查的位置公式 \(h_i\) 如下：

• 1. 线性探查（Linear Probing）

• 公式：\(h_i = (h_0 + i) \bmod M\)

• 逻辑：冲突后依次查看下一个位置（\(h_0+1, h_0+2, h_0+3, \dots\)）。

• 优缺点：缓存命中率高，CPU Cache 非常友好；但容易产生主聚集（Primary Clustering），即连续的被占用槽位会越来越长，严重影响性能。

• 2. 二次探查 / 平方探查（Quadratic Probing）

• 公式：\(h_i = (h_0 + c_1 \cdot i + c_2 \cdot i^2) \bmod M\) （如步长依次为 \(+1^2, -1^2, +2^2, -2^2, \dots\)）

• 逻辑：冲突后按步长的平方跳跃探查。

• 优缺点：有效减缓了主聚集现象；但探查路径固定，可能产生次聚集（Secondary Clustering），且需要谨慎设计数组大小（通常要求为素数）以保证能遍历整个表。

• 3. 双重哈希（Double Hashing）

• 公式：\(h_i = (h_0 + i \cdot h_2(key)) \bmod M\)

• 逻辑：使用第二个独立哈希函数 \(h_2(key)\) 来决定探查的步长。

• 优缺点：探查步长与键值相关，随机性最好，几乎不会发生聚集现象；但计算开销略大。

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三、 开放地址法 vs 链地址法（Chaining）

对比维度	开放地址法 (Open Addressing)	链地址法 (Chaining)
存储结构	仅使用单一连续数组	数组 + 链表/红黑树
装载因子 (\(\alpha = \frac{N}{M}\))	必须满足 \(\alpha < 1\)（通常超过 0.7 就要扩容）	可以 \(\ge 1\)
内存与 Cache	连续内存，CPU 缓存极其友好，无需额外指针开销	频繁分配节点内存，产生内存碎片，Cache 命中率低
删除操作	较复杂，不能真正置空（需打上墓碑标记，避免断链）	简单，直接从链表中移除节点

在 Python 的 dict、Rust 的 HashMap 以及高性能高性能 C++ 容器（如 Google absl::flat_hash_map）中，通常都优先采用开放地址法（或其变体如 Robin Hood Hashing / Swiss Tables）以追求极致的内存局部性和 CPU Cache 效率。