权值线段树 学习笔记

前置知识：线段树

权值线段树和普通的线段树的唯一差别就是维护的内容不同，线段树维护的是每个位置。而权值线段树维护的是每个值，故称为权值线段树。

剩下可以讲的不多，每道题的方法也不一样，这里直接讲例题了。

Luogu P3369 【模板】普通平衡树

这题虽然是平衡树模板，但也可以用权值线段树解决。

首先我们设每个节点存储的是值在 \(l\sim r\) 范围内的数的个数。

发现值域过大，考虑离散化（设离散化后的节点对应到 \(1\sim n\)）

考虑每一种操作：

1. 插入一个数 \(x\)

很明显只需要将 \(x\) 对应的节点值加一即可，实现方法与普通线段树无异。

2. 删除一个数 \(x\)

与操作 1 一样，只不过是将加一改为了减一。

3. 查询小于 \(x\) 的个数加一（\(x\) 的排名）

直接查询 \(1\sim x-1\) 的所有值出现个数之和即可，实现方法也与普通线段树无异。

4. 查询排名为 \(x\) 的数

这时我们只需要进行线段树二分，每次看左子树的值是否 \(\geq x\)，如果是就说明在左子树里，否则就在右子树里。

5. 查询 \(x\) 的前驱

发现 \(x\) 的前驱其实就等价为排名为 \(x\) 的排名减一的数，综合 3、4 操作即可。

6. 查询 \(x\) 的后驱

这个也等价于排名为小于等于 \(x\) 的数的个数加一的数，使用 4 操作即可。