反素数

反素数

素数就是因子只有两个的数（且＞1）, 那么反素数，就是因子最多的数（包括1），并且因子数相同时候值最小，所以反素数是相对一个集合而言的。

定义

如果某个正整数 \(n\) 满足如下条件，则称为是 反素数：任何小于 \(n\) 的正数的约数个数都小于 \(n\) 的约数个数。

过程

考虑唯一分解形式：（\(pi\)递增）

\[n = p_1^{k1}p_2^{k2} \dots p_1^{kn-1}p_1^{kn} \]

因子个数为：

\(num = (k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \dots \times (k_{n-1} + 1) \times (k_n + 1)\)

若存在 \(ki < kj\), 那么交换\(ki\) 和 \(kj\) 因子数不变，\(n\)变小，即存在更优解。

所以, 对于固定的 \(num\), 他的唯一分解形式次幂必然是 $k1 \ge k2 \ge \dots \ge kn $,

另外 我们可以将\(pi\) 变为以 \(2\) 开始的连续素数，使新的\(n' \le n\)