幸运数-简单数论/找规律

幸运数

题目

试题 C: 平方差（数学 / 结论）

时间限制 : 1.0s
内存限制 : 256.0MB
本题总分：10 分

【问题描述】

给定 L, R，问 L ≤ x ≤ R 中有多少个数 x 满足存在整数 y,z 使得 x = y^ 2 − z^ 2 。

【输入格式】

输入一行包含两个整数 L, R，用一个空格分隔。

【输出格式】

输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 x 的数量。

【样例输入】

1 5

【样例输出】

4

【样例说明】

1 = 1^ 2 − 0 ^ 2 ；
3 = 2^ 2 − 1 ^ 2 ；
4 = 2^ 2 − 0 ^ 2 ；
5 = 3^2 − 2 ^2 。

【评测用例规模与约定】

对于 40 % 的评测用例， \(L R ≤ 5000\) ；
对于所有评测用例， \(1 ≤ L ≤ R ≤ 10^9\) 。

思路

​ 看到题目数据，开始想\(O(log(R - L))\)的做法，但是发现貌似不能二分，后来看题解才知道这道题是个数论的题，需要找到规律。

首先我们考虑奇数情况下, 设\(x = 2k + 1\), 则我们可以想到一种构造方法：

下列参数\(k \in Z^+\)

\(x = (k + 1 + k) \times (k + 1 - k) = (k + 1)^2 - k^2\)， 所以所有奇数都有平方差。

​ 偶数情况下， 我们考虑正整数最小的情况\(2^2 - 0^2 = 4\)，考虑\(4k\)和\(4k+2\)覆盖的大于等于\(4\)的所有偶数，可以找到规律\(4k\)有解，\(4k + 2\)无解。

​ 对于\(4k\), 我们可以构造：

\(4k = 2 \times 2k = ((k + 1) - (k - 1)) + ((k + 1) + (k - 1)) = (k + 1)^2 + (k - 1)^2\)

​ 因为\((x + y)(x - y)\) 同奇偶，所以他们同偶， 而两个同偶数相乘必然是\(4\)的倍数， 而\(4k + 2\)仅仅为\(2\)的倍数，产生矛盾，所以\(4k + 2\)不存在解。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

int main() {
	int l, r;

	std::cin >> l >> r;

	int len = r - l + 1;

	std::cout << (r / 4 - (l - 1) / 4) + (len - (r / 2 - (l - 1) / 2));	
}