HBCPC 2020 删点

HBCPC 2020 删点

题目

作者 ICPC Team

单位 北京邮电大学

小河得到了一个包含n个点的无向图。他要选取一个点的集合（可以为空），将其中的点依次删掉。对于选出的这个集合，他还需要选取一个合适的删点顺序，使得删的过程中，任何点在被删掉的时刻依然与至少一个未被删掉的点相连（请参考样例）。

删着删着，他发现，不是所有的集合都能找到一个满足条件的删点顺序。比如，对于下图：

对于集合{4},{1,4},{2,4},{3,4}都不能找出满足条件的方案，因为无论如何，在删除4的时候，它都不与任何点相连——事实上，4在任何时刻都不与其它点相连。

他希望知道，有多少个不同的集合可以找到一种满足条件的删点顺序。由于方案数可能很大，请输出答案对998244353取模后的结果。

题目保证不会出现自环。

输入格式

第一行两个数字n,m(1≤n,m≤106)，表示有n个点和m条边。

接下来m行，每行两个数字x,y(1≤x,y≤n,x=y)，表示x和y之间有一条边相连。

输出格式

输出存在符合条件删点顺序的集合个数

样例输入

5 4
1 2
2 3
2 4
3 5

样例输出

31

样例解释

下面是满足条件的31种方案：

∅{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}{1,3,4,5}{2,3,4,5}

以{1,2,5}为例，按照1−2−5的顺序删除即可满足要求，如下图所示：

唯一一个找不到满足条件删除顺序的集合是{1,2,3,4,5}，因为不管怎么删，最后一个点在删除的时候一定不与任何点相邻

代码长度限制

16 KB

Java (javac)

时间限制

6000 ms

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512 MB

其他编译器

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3000 ms

内存限制

512 MB

思路

​ 对于图\(G<V, E>\), 考虑每个单独的连通块而言， 我们设删除集合为\(S\), 只要\(S \subset V\), 即\(S\)不包含所有点，这样的序列就是和法的，那么对于一个单独的连通块而言其方案数\(cnt_i = 2^{v_i} - 1\), 其中\(v_i\)为当前连通块内的点数, 那么所有方案数\(CNT = \prod_{i = 1}^{num}(2^{v_i} - 1)\)。

​ 证明对于单独的连通块方案数为\(2^{v_i} - 1\) ：构造一种方案，我们考虑当前图的生成树， 构造出一种合法删点顺序对于任何非全集，删点集合始终保持两种状态，有叶子节点和无叶子节点，对于叶子节点显然我们都可以直接删除， 对于非叶子节点，我们可以忽略图中该点，再去删掉别的叶子节点，另外该点若是集合中最后一个点则可以直接删除。由于全集中，我们删去\(n - 1\)个点后，最后一个点不满足条件，所以全集不是合法方案。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

const int N = 1e6 + 10, M = 2e6 + 10, mod = 998244353;

int n, m;

int h[N], e[M], ne[M], idx;

bool st[N];

int cnt;

void add(int a, int b) {
	ne[idx] = h[a], h[a] = idx, e[idx ++] = b;
}

i64 qmi(i64 a, i64 b) {
	i64 res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res % mod;
}

void dfs(int u) {
	if (st[u]) return;

	st[u] = true;

	cnt ++;

	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
		int v = e[i];

		if (st[v]) continue;

		dfs(v);
	}
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);
	
	std::cin >> n >> m;

	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		int x, y; 
		std::cin >> x >> y;
		add(x, y), add(y, x);
	}

	i64 ans = 1;

	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (!st[i]) {
			cnt = 0;
			dfs(i);
			ans = ans * (qmi(2, cnt) - 1) % mod;
		}	
	}

	std::cout << ans;
}