次小生成树学习

关于树的定义

• 有\(n\)个节点, \(n - 1\)条边的连通无向图
• 无向无环的连通图
• 任何两个节点之间有且仅有一条简单路径的无向图
• 任何边均为桥的连通图（除去该边构成两个连通图）

次小生成树

非严格次小生成树

定义

在无向图中，边权和最小的满足边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树。

求解方法

• 求出无向图的最小生成树\(T\)，设权值和为\(M\).
• 遍历每条未被选中的边\(e = (u, v, w)\), 找到\(T\)中\(u\)到\(v\)路径上边权最大的一条边\(e'(s, t, w')\), 则在\(T\)中以\(e\)替换\(e'\)可得一颗权值和为\(M' = M + w - w'\)的生成树\(T'\).
• 对所有换得到的答案\(M'\)取最小值即可.

​ 因为砍掉树的某个边，会形成两个连通块，我们在连接\(u, v\)就构成了一个新的生成树，这样我们遍历每个未被选中的边，取最小值就可以得到非严格次小生成树。

​ 知道这些后，如何求出\(u, v\)路径上的边权最大值是一个问题。

​ 我们可以考虑使用倍增来维护，预处理每个节点的\(2^i\)级祖先及到达其\(2^i\)级祖先路径上的最大边权，这样在倍增求LCA的过程中可以直接求得。

严格次小生成树

​ 在无向图中，边权和最小的满足边权和 大于 最小生成树边权和的 生成树。

​

​ 和次小生成树的LCA算法类似， 我们需要再开一个数组记录到\(2^i\)级祖先路径上的次大边权，在倍增过程进行更新。

LCA算法 \(O(mlogm)\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

using i64 = long long;

const int N = 100010, M = 300010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
struct Edge
{
    int a, b, w;
    bool used;
    bool operator< (const Edge &t) const
    {
        return w < t.w;
    }
}edge[M];
int p[N];
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int depth[N], fa[N][17], d1[N][17], d2[N][17];
int q[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

LL kruskal()
{
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
    sort(edge, edge + m);
    LL res = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = find(edge[i].a), b = find(edge[i].b), w = edge[i].w;
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            edge[i].used = true;
        }
    }

    return res;
}

void build()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
        if (edge[i].used)
        {
            int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w;
            add(a, b, w), add(b, a, w);
        }
}

void bfs()
{
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0, depth[1] = 1;
    q[0] = 1;
    int hh = 0, tt = 0;
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (depth[j] > depth[t] + 1)
            {
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q[ ++ tt] = j;
                fa[j][0] = t;
                // 路径上只有一个边，次小值不存在
                d1[j][0] = w[i], d2[j][0] = -INF;
                for (int k = 1; k <= 16; k ++ )
                {
                    int anc = fa[j][k - 1];
                    fa[j][k] = fa[anc][k - 1];
                    // u-x-v 记录两个中间路径的最大值，次大值，放在数组里面取更新整个路径的最大值次大值
                    int distance[4] = {d1[j][k - 1], d2[j][k - 1], d1[anc][k - 1], d2[anc][k - 1]};
                    
                    d1[j][k] = d2[j][k] = -INF;
                    for (int u = 0; u < 4; u ++ )
                    {
                        int d = distance[u];
                        if (d > d1[j][k]) d2[j][k] = d1[j][k], d1[j][k] = d;
                        else if (d != d1[j][k] && d > d2[j][k]) d2[j][k] = d;
                    }
                }
            }
        }
    }
}

int lca(int a, int b, int w) {
    static int distance[N * 2];

    int cnt = 0;

    if (depth[a] < depth[b]) std::swap(a, b);

    for (int k = 16; k >= 0; k --) {
        if (depth[fa[a][k]] >= depth[b]) {
            // a点向上跳的同时，记录上每次跳的时候路径上的最大值和次大值
            distance[cnt ++] = d1[a][k];
            distance[cnt ++] = d2[a][k];
            a = fa[a][k];
        }
    }

    if (a != b) {
        for (int k = 16; k >= 0; k --) {
            if (fa[a][k] != fa[b][k]) {
                // 一起向上跳的同时，记录上a和b的路径上的最大值和次大值
                distance[cnt ++] = d1[a][k];
                distance[cnt ++] = d2[a][k];
                distance[cnt ++] = d1[b][k];
                distance[cnt ++] = d2[b][k];
                a = fa[a][k], b = fa[b][k];
            }
        }
        // 由于跳到最近公共祖先的下一层节点，这里我们在将最后一条边记录下来
        distance[cnt ++] = d1[a][0];
        distance[cnt ++] = d1[b][0];
    }

    int dist1 = -INF, dist2 = -INF;

    for (int i = 0; i < cnt; i ++) {
        int d = distance[i];

        if (d > dist1) dist2 = dist1, dist1 = d;
        else if (d != dist1 && d > dist2) dist2 = d;
    }   

    if (w > dist1) return w - dist1;
    if (w > dist2) return w - dist2;
    
    return INF;
}
int main() {
	std::cin >> n >> m;

	for (int i = 0; i < m; i ++) {
		int a, b, c;

		std::cin >> a >> b >> c;

		edge[i] = {a, b, c};
	}

	i64 sum = kruskal();
	build();
	bfs();

	i64 res = 1e18;

	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		if (!edge[i].used) {
			int a = edge[i].a,  b = edge[i].b, w = edge[i].w;
			res = std::min(res, sum + lca(a, b, w));
		}
	}

	std::cout << res;
}