关于最短路算法的拓扑序列

关于最短路算法的拓扑序列

最短路计数问题

题目

最短路计数

思路

我们考虑依赖方式（动态规划的思想）：

1. 先求出**全局最小值**是多少

2. 再分别求出每个子集中**等于全局最小值**的元素个数

如果存在环形依赖关系的话，这样并不能求出最终的数量。

我们举例环形依赖问题：

​ 小王欠小张100元，小张欠小刘100元，小刘欠小王100元，显然着三个人互不相欠，但是我们按照动态规划的思想，小王->小张->小刘 得出结论每个人互相欠100元，因为动规是将重叠子问题并为图论中的一个节点，在跑一个DAG的推导，如果存在环形依赖关系，\(f\)可能需要多次被推导。

​ 最短路树（拓扑图）满足\(dist[v] = dist[u] + w(u \rightarrow v)\). 即该节点被其前去节点所更新。

​ 如果该图存在权重等于\(0\)的环，显然该图存在无穷多个最短路序列，如果该权重\(<0\)则不存在最短路。

​ 对\(BFS或Dijkstra\) 显然都满足每一次出队的点都是满足拓扑序的，对于\(SPFA\)算法每次出队的时候由于该点的最短距离并不能被确定，我们并不能求出最短路的拓扑序。但是如果存在负权的话我们并不能使用Dijkstra，这时候需要使用SPFA算法先把最短路径求出来，然后再求最短路径树。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>

using i64 = long long;

const int N = 1e5 + 10, M = 4e5 + 10, mod = 1e5 + 3;

int n, m;

int h[N], ne[M], e[M], idx;

int q[N], hh = 0, tt = -1;

int dist[N], cnt[N];

void add(int a, int b) {
	ne[idx] = h[a], h[a] = idx, e[idx ++] = b;
}

void bfs() {
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

	q[++ tt] = 1;

	dist[1] = 0;

	cnt[1] = 1;

	while (hh <= tt) {
		int t = q[hh]; hh ++;

		for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
			int v = e[i];

			if (dist[v] > dist[t] + 1) {
				dist[v] = dist[t] + 1;
				cnt[v] = cnt[t];
				q[++ tt] = v;
			} else if (dist[v] == dist[t] + 1) {
				cnt[v] = (cnt[v] + cnt[t]) % mod;	
			}
		}	
	}
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);

    scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		int x, y;

		scanf("%d%d", &x, &y);

		add(x, y);

		add(y, x);
	}

	bfs();

	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		printf("%d\n", cnt[i]);
	}
}