P4728 [HNOI2009]双递增序列-多维dp转低维

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题目

题目描述

考虑一个长度为偶数 nn 的序列 a_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,a**n，我们称这个序列为好的，当且仅当存在 a_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,a**n 的一个划分 U={ a_{i_1}, a_{i_2}, \dots, a_{i_{n/2}} }, V={ a_{j_1}, a_{j_2}, \dots, a_{j_{n/2}} }={ a_1, a_2, \dots, a_n }-UU={a**i1,a**i2,…,ain/2},V={a**j1,a**j2,…,ajn/2}={a1,a2,…,a**n}−U，且 i_1<i_2< \dots <i_{n/2}, a_{i_1}<a_{i_2}< \dots <a_{i_{n/2}}, j_1<j_2< \dots <j_{n/2}, a_{j_1}<a_{j_2}< \dots <a_{j_{n/2}}i1<i2<⋯<i**n/2,a**i1<a**i2<⋯<ain/2,j1<j2<⋯<j**n/2,a**j1<a**j2<⋯<ajn/2。

比如序列 3, 1, 4, 5, 8, 73,1,4,5,8,7 就是一个好的序列。因为它可以分成 U={3, 4, 8}, V={1, 5, 7}U={3,4,8},V={1,5,7}。而序列 3, 2, 1, 6, 5, 43,2,1,6,5,4 则不是一个好的序列。

现在的问题是，针对给出的若干序列，请你判断它们是否是好的序列。

输入格式

第一行仅包含一个整数 mm，表示需要判断 mm 个序列。
接下来的 mm 行分别给出这些序列。每个序列的输入为一行，每行的第一个数为一个偶数 nn，表示序列的长度，随后的 nn 个整数表示序列本身的元素 a_1, a_2, \dots, a_na1​,a2​,…,a**n​。同一行的各数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出 mm 行，如果第 ii 个序列为好的序列，那么第 ii 行输出Yes!，否则输出 No!。

输入输出样例

输入 #1复制

2
6 3 1 4 5 8 7
6 3 2 1 6 5 4

输出 #1复制

Yes!
No!

说明/提示

对于 10%10% 的数据，n \le 100n≤100。
对于 40%40% 的数据，n \le 300n≤300。
对于 100%100% 的数据，1 \le n \leq 20001≤n≤2000，1 \le m \leq 251≤m≤25，0 \le a_i \le 10^60≤a**i​≤106。

思路 （多维dp）

​ 考虑\(dp[i][j][k][l]\) 为第一个序列长度为\(k\), 第二个序列长度为\(l\), 第一个序列末尾为i, 第二个序列末尾为j的结果是否存在。

​ 则状态转移为

若\(a[i] > a[i - 1]\)

​ \(dp[i][j][k][l] = dp[i - 1][j][k - 1][l]\)

若\(a[j] > a[j - 1]\)

​ \(dp[i][j][k][l] = dp[i][j - 1][k][l - 1]\)

复杂度\(O(n^4)\)

​ 这样做显然会超时， 考虑状态表示上， 由于已知一个序列长度，另一个长度也是已知的，所以我们可以

用\(dp[i][j][k]\) 来表示， 我们可以用值来代替一个状态，所以可以用

\(dp[i][j] = k\) 来表示考虑前\(i\)个数，一个序列以\(a_i\)结尾，长度为\(j\), 另一个序列结尾的最小值为\(dp[i][j]\)， 长度为\(i - j\)

初始化\(dp[1][1] = -\infty\)

则状态的更新，可以为下:

能衔接上该序列， 传递一下状态

若\(a_{i-1} < a_{i}\) 则\(dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1])\)

能衔接上另一个序列，转移\(a_{i - 1}\)

若\(dp[i-1][j-1] < a_i\), 则\(dp[i][i - j] = min(dp[i][i - j], a_{i - 1})\)

Code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using i64 = long long;

const int MAXN = 2300, inf = 0x3f3f3f3f;

/*
	dp[i][j] 表示一个序列以第i个数结尾, 且长度为j，另一个序列结尾的最小可能值(长度为 i - j)

	若a_i < a_(i+1) 更新 dp[i + 1][j + 1]
	若dp[i][j] < a_(i + 1) 更新 dp[i + 1][i - j + 1]	
*/

int dp[MAXN][MAXN];


void solve() {
	int m;
	std::cin >> m;
	std::vector<int> v(m + 1);

	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);

	for(int i = 1; i <= m; i ++) std::cin >> v[i];

	dp[1][1] = -inf;

	for(int i = 1; i < m; i ++) {
		for(int j = 1; j <= i && j <= m / 2; j ++) {
			// 能衔接上序列， 更新dpi+1 j + 1
			if(v[i] < v[i + 1]) {
				dp[i + 1][j + 1] = std::min(dp[i + 1][j + 1], dp[i][j]);
			}

			// 能衔接上另一个序列 更新dpi+1, i - j + 1
			if(dp[i][j] < v[i + 1]) {
				dp[i + 1][i - j + 1] = std::min(dp[i + 1][i - j + 1], v[i]);
			}
		}
	}

	std::cout << (dp[m][m / 2] != 0x3f3f3f3f?"Yes!":"No!") << "\n";
}

int main() {
	int n;
	std::cin >> n;

	while(n --) {
		solve();
	}
}