题目
设有 NN 堆石子排成一排,其编号为 1,2,3,…,N1,2,3,…,N。
每堆石子有一定的质量,可以用一个整数来描述,现在要将这 NN 堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。
例如有 44 堆石子分别为
1 3 5 2
, 我们可以先合并 1、21、2 堆,代价为 44,得到4 5 2
, 又合并 1、21、2 堆,代价为 99,得到9 2
,再合并得到 1111,总代价为 4+9+11=244+9+11=24;如果第二步是先合并 2、32、3 堆,则代价为 77,得到
4 7
,最后一次合并代价为 1111,总代价为 4+7+11=224+7+11=22。问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。
输入格式
第一行一个数 NN 表示石子的堆数 NN。
第二行 NN 个数,表示每堆石子的质量(均不超过 10001000)。
输出格式
输出一个整数,表示最小代价。
数据范围
1≤N≤3001≤N≤300
输入样例:
4 1 3 5 2
输出样例:
22
思路 区间dp
我们只考虑两个区间的合并,将左右区间的最优解合并保证了最终解的最优性,以分界点来推导状态,则长度为\(len\)的区间可以划分\(len - 1\)个分界点,设\(dp[i][j]\)表示左端点为\(l\), 右端点为\(r\)的合并所需最小代价,\(f[i][j]\)的状态可以由若干个分界点划分的区间得到:
\(\quad f[i][j] = min(f[i][i + k - 1] + f[i + k][j] + \sum \limits^j_{x=i}a_x)\)
所有状态: \(O(n^2)\)
状态计算: \(O(n)\), 对于单个状态而言,枚举所有分界点
复杂度: \(O(n^3)\)
Code
#include <iostream>
const int N = 350;
int a[N], prefix[N], dp[N][N];
int main() {
int n;
std::cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) std::cin >> a[i], prefix[i] = a[i] + prefix[i - 1];
// dp[l][k - 1], dp[k + 1][r]
// dp[l][r], dp[r + 1][r]
// dp[l][r - 1], dp[r][r]
for(int len = 2; len <= n; len ++) {
for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++) {
int r = l + len - 1;
dp[l][r] = 1e9;
for(int k = l; k <= r; k ++) {
dp[l][r] = std::min(dp[l][r], dp[l][k - 1] + dp[k][r] + prefix[r] - prefix[l - 1]);
}
}
}
std::cout << dp[1][n];
}