AcWing 900. 整数划分-完全背包类计数DP

题目

一个正整数 nn 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nkn=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数 nn 的一种划分。

现在给定一个正整数 nn，请你求出 nn 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 nn。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 1e9+7 取模。

数据范围

1≤n≤10001≤n≤1000

输入样例:

5

输出样例：

7

思路 （完全背包计数）

​ 和完全背包类似，\(dp[i][j]\)可以由\(dp[i - 1][j]\)和\(dp[i][j - v[i]] + w[i]\)递推而来，这里的\(v[i] = 1\),由于\(dp[i][j]\)表示考虑前\(i\)个物品，当背包容量为\(j\)时的方案数

因此dp方程可以写为

\(dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]\)

初始化：

\(dp[0][i] = 1\)

Code

#include <iostream>

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;

int dp[1000];
// 完全背包计数问题
// dp[i][j] 表示考虑前i个物品， 当背包容量为j时的方案数
// dp[i][0] =  1;
// dp[i][1] =  1;
// dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - i];
// dp[1][2] = 1
// dp[2][2] = 2 = dp[1][2] + dp[1][1]
// dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])
// dp[j] = dp[j] + dp[j - v[i]]

int main() {
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 1000; i ++) {
        for(int j = i; j <= 1000; j ++) {
            dp[j] = (dp[j] % mod + dp[j - i] % mod) % mod;
        }
    }
    int n;
    cin >> n;
    cout << dp[n];
}