7-3 拼题A打卡奖励

7-3 拼题A打卡奖励

拼题 A 的教超搞打卡活动，指定了 N 张打卡卷，第 i 张打卡卷需要 mi 分钟做完，完成后可获得 ci 枚奖励的金币。活动规定每张打卡卷最多只能做一次，并且不允许提前交卷。活动总时长为 M 分钟。请你算出最多可以赢得多少枚金币？

输入格式：

输入首先在第一行中给出两个正整数 N（≤103） 和 M（≤365×24×60），分别对应打卡卷的数量和以“分钟”为单位的活动总时长（不超过一年）。随后一行给出 N 张打卡卷要花费的时间 mi（≤600），最后一行给出 N 张打卡卷对应的奖励金币数量 ci（≤30）。上述均为正整数，一行内的数字以空格分隔。

输出格式：

在一行中输出最多可以赢得的金币数量。

输入样例：

5 110
70 10 20 50 60
28 1 6 18 22

输出样例：

40

样例解释：

选择最后两张卷子，可以在 50+60=110 分钟内获得 18+22=40 枚金币。

思路

​ 普通背包的话，\(dp[i][j]\)表示考虑前\(i\)个打卡卷，当时间为j时的最大价值，时间总长大概为5e4,而打卡卷数量为1e2， 复杂度上界\(\Theta(n^2)\) ≈ \(5 \times 10^{7}\) 会超时

​ 我们可以换个思路，设\(dp[i][j]\)表示考虑前i个打卡卷，当价值为j时的最小时间，那么有以下等式（w[i]表示价值，v[i]表示容量）:

\(dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])\)

值得注意的地方：

1. 考虑j的合法范围，应满足\(w[i] \le j \le tot\), 对于第i次循环（是否考虑将i放进背包）

2. 考虑数组存不下，应该使用滚动数组，保证\(j-w[i]\)应该为\(i\)层的状态，所以我们从后向前枚举

3. dp数组不满足二段性在求的时候不可以二分找到最大价值，应考虑从最大奖励开始枚举，枚举到第一个便是答案

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int M = 525600, N = 3e4 + 10;

// dp[i][j] 为考虑前i个打卡卷，所需时间为j时的最大奖励数量 dp 物品和容量

// dp[i][j] dp 物品和价值
// dp[i][j] 表示考虑前i个物品，总价值为j时的最小时间
// dp[i][j] = min(dp[i-1][j], d[i][j-w[i]] + v[i])
int v[N], w[N], dp[N];

int main() {
	int n, m, ans, tot = 0; cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i];
	for (int j = 1; j <= n; j ++) cin >> w[j], tot += w[j];
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	dp[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		for (int j = tot; j >= w[i]; j --) {
			dp[j] = min(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
		}
	}
	int k = 1;
	while (dp[tot] > m) tot --;
	cout << tot;
}