首先讨论一下发blog的事情,自己感觉对别人会有用的东西,就可以发,不一定是非常高深,异或是总结性很强的算法论述.
设F(K,N) = 1^N+2^N+3^N+4^N+5^N+...+K^N.
我们要讨论的是在O(N^2)时间限制内能求出上式对于任意K的值.
如一般所知,
F(K,1) = (K+1)*K/2
以及N=2时的通式.
那么当N=3,4,5..呢?
下面是求解过程.
假定已经求得了N-1, N-2,...1的通式.
那么对于N,设K固定,表达式简化为Fn
(K+1)^(N+1) = K^(N+1) + C(N,1)*K^N + C(N,2)*K^(N-1) + ... + C(N,N)
K^(N+1) = (K-1)^(N+1) + C(N,1)*(K-1)^N + C(N,2)*(K-1)^(N-1) + ... + C(N,N)
... ...
1^(N+1) = 1^N
上面的K+1个式子,分别将等号右边的第一项移位到等号左边.
(K+1)^(N+1) - K^(N+1) = C(N,1)*K^N + C(N,2)*K^(N-1) + ... + C(N,N)
K^(N+1) - (K-1)^(N+1) = C(N,1)*(K-1)^N + C(N,2)*(K-1)^(N-1) + ... + C(N,N)
... ...
1^(N+1) - 1^N = 0
左边累加和 = (K+1)^(N+1) - 1,
右边累加和 = C(N,1)*Fn+C(N,2)F(n-1)+ ... + C(N,N)F0
左边=右边,则
Fn=((K+1)^(N+1)-(C(N,2)F(n-1)+ ... + C(N,N)F0 + 1)) / N
得证.
其他方法可参见:
1,http://hi.baidu.com/unber/blog/item/e1e4d911b85ee217203f2e69.html
2,100个初等数学问题和解.
