首先,给出定义:
(=>)若d可简单图化，设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，则把这些边除去得简单图G'，于是d'可简单图化为G'
(b)若存在点Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中，但(V1,Vj)在G中。这时，因为di>=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。这时我们可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍为d，我们又回到了情况(a)。
定义1：如果V(G)={v1，v2,v3,...,vp};则称非负整数序列(d(v1),d(v2),d(v3),...,d(vp))为图G的度序列.
(定义中的图指广义的图,含有多重边或环).
定义2：简单图的度序列成为图序列.
以下是图论书上的定理及推论:
定理1：对于每个图G=(V,E),均有∑d(v)(v属于V)=2*q(G),(q(G)为图的边数).
推论1：任何图中,奇点的个数为偶数.
推论2：非负整数序列(d1,d2,...,dp)是某个图的度序列,当且仅当∑(di)(1<=i<=n)是偶数.
推论2证明简单构造性地,di为偶数对应的顶点,添加di/2个环,di为奇数的对应顶点相应添加(di-1)/2个环,再将奇点两两连接即可.
定理2：(EG定理)(Erdos和Gallai于1960年给出)图序列(简单图的度序列的判定方法)
非负整数序列(d1,d2,...,dp)(p-1>=d1>=d2>=...>=dp)是图序列当且仅当∑(di)(1<=i<=p)为偶数,(即满足图的度序列的条件),并且对于一切整数k,1<=k<=p-1,有∑(di)(1<=i<=k)<=k*(k-1)+∑min(k,di)(k+1<=i<=p).
同时流行的一个相关定理是
Havel定理:(定理的描述及证明转自Roba神牛)
描述: 我们把序列排成不增序，即d1>=d2>=...>=dn，则d可简单图化当且仅当d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦，实际上就是说，我们把d排序以后，找出度最大的点(设度为d1)，把它和度次大的d1个点之间连边，然后这个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。
定理的简单证明如下:
(<=)若d'可简单图化，我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可，易得此图必为简单图。
(<=)若d'可简单图化，我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可，易得此图必为简单图。
(=>)若d可简单图化，设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，则把这些边除去得简单图G'，于是d'可简单图化为G'
(b)若存在点Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中，但(V1,Vj)在G中。这时，因为di>=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。这时我们可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍为d，我们又回到了情况(a)。
相比于EG定理,Havel定理具有更明显的构造性,这一点较有价值..
题目两道:
POJ_1659:http://poj.org/problem?id=1659.
UVa_10720_Graph_construction.
