Jackiesteed

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1975年,John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法。Pollard rho因数分解方法基于下列几点:

(1) 假定有两个整数 和 使得p可以整除-,但是n不能整除 。

(2) 可以证明 。因为p可以整除,可以写成 。但是,因为n不能整除-,很明显q不能整除n。这就表明 既可以是1也可以是n的一个因数。

下列算法重复选择,直到求出一个合适的对。

(1) 选择,一个小的随机整数称为种子。

(2) 运用函数算出,使得n不能整除 。这里所用的一个函数也许就是 =  (a通常选作1)。

(3) 计算 。如果它不是1,结果是n的一个因数;如果它是1,返回到步骤1并用重复这个过程。现在我们计算 。注意,在下一轮中,我们以开始,如此这般。如果我们运用Pollard rho算法列出x的值,就会发现最终要重复的这个值,创建一个和希腊字母rho ( )一样的形状,如图9-3所示。

图9-3 Pollard rho连续数

为了减少反复的次数,算法做了一些改进。该算法用数对( , )开始,并且用 ,迭代计算 。在每一次迭代中,我们都应用上述函数式运算(从第二步)第一次计算数对中的第一个元素,第二次计算数对中的第二个元素(参看算法9.6)。

算法 9.6 Pollard rho方法的伪代码

复杂度 这种方法需要算术运算 。不过,因为我们希望p小于或等于 ,我们希望做 算术运算。这就是说比特操作复杂度是 ,它是指数增长的。

posted on 2011-04-18 15:24  Jackiesteed  阅读(9619)  评论(1编辑  收藏  举报