坐标转换矩阵

参考：《Robotics,Vision and Control》、《鱼雷航行力学》、其他学位论文

为了开题看论文，结果发现坐标转换矩阵这个基础部分竟然卡壳了，网上的一些讨论要不缺少中间过程，要不甚至是错的，于是整理了一下。
p.s.没想到《Robotics,Vision and Control》这本一直认为和研究关系不大的书成了救命稻草。

书上直接给出了分别绕x,y,z轴旋转sita角度的矩阵，而且这三个矩阵也经常见到。但值得注意的是，这三个矩阵其实是坐标系的转换矩阵，公式为

原坐标=[坐标转换矩阵]新坐标

而我们通常是希望求新坐标，所以

新坐标=[坐标转换矩阵的逆]原坐标

又因为是正交矩阵，所以求逆即转置

新坐标=[坐标转换矩阵的转置]原坐标

看了一些论文，虽然最后总的坐标转换矩阵是对的，但得出结论的过程里缺少了将坐标转换矩阵转置的操作，从而有误（虽然过程一般会被读者跳过），如下：

除此之外，也有的书籍(《鱼雷航行力学》)和论文，把前面的推导过程省略，直接给出了点对点的坐标转换矩阵，让人感觉很奇怪，甚至怀疑结论的正确性。（但后来推导发现这是转置后的矩阵）

于此同时，根据建立的坐标系的不同，旋转顺序也有差异，但有一定的标准。

下面《鱼雷航行力学》书上的旋转顺序，是因为建立了“东-天-南”的地面坐标系，即x轴指东，y轴指天，z轴指南，与之对应的雷体坐标系也是按照“东-天-南”来使用，其旋转顺序为y-z-x，分别旋转了航向-俯仰-横滚角。
而上面的旋转矩阵来自于某些航空类的书籍和论文，因为是z轴在垂直方向（有的是z轴指天，有的是z轴指地...），常用的导航角旋转顺序是z-y-x，同样是按照航向-俯仰-横滚角的顺序。

2020年补充
当你尝试改变一个现有的Matlab仿真程序中的坐标系时，记得将S函数中设置的状态变量中的欧拉角次序与x,y,z轴顺序一一对应，比如对于“东-天-南”坐标系应分别为横滚-航向-俯仰，然后才能得到新坐标系正确的坐标转换矩阵。