高数笔记 P00b：常用定理

1 有界性定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\exists K \gt 0, \ |f(x)| \le K\).

2 最值定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(m \le f(x) \le M\)，\(m, M\) 为\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小、最大值。

（后面的\(m,M\)根据情景一般是最值，不再指明。）

3 介值定理

• 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(m \le \mu \le M\)，则\(\exists \xi \in [a,b]\)，使\(f(\xi ) = \mu\).
• 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(f(a) \not = f(b)\)，则\(f(x)\)可以取到\(f(a), \ f(b)\)之间的任意函数值。

4 零点定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(f(a) \cdot f(b) \lt 0\)，则\(\exists \xi \in [a,b]\)，使\(f(\xi ) = 0\).

5 费马定理

若\(f(x)\)在\(x = x_0\)处可导，并取到极值，则\(f'(x_0) = 0\).

6 罗尔定理

若\(f(x)\)满足：\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可导，\(f(a) = f(b)\)，则\(\exists \xi \in (a,b)\)，使\(f'(\xi ) = 0\).

7 拉格朗日中值定理

若\(f(x)\)满足：\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可导，则\(\exists \xi \in (a,b)\)，使\(f'(\xi ) = \cfrac {f(b) - f(a)}{b - a}\).

证明如下：

令\(f'(x) = \cfrac {f(b) - f(a)}{b - a}\),

两边同时积分，得\(f(x) = \cfrac{f(b) - f(a)}{b - a} x + C\) , 取\(C = 0\),

取\(F(x) = f(x) - \cfrac{f(b) - f(a)}{b - a} x\), 其中

\(F(a) = \cfrac{bf(a) - af(b)}{b - a}, \ F(b) = \cfrac{bf(a) - af(b)}{b - a}\),

得\(F(a) = F(b)\), 由罗尔定理，\(\exists \xi \in (a,b)\)，\(F'(\xi ) = 0\)，即\(f'(\xi ) = \cfrac {f(b) - f(a)}{b - a}\).

8 柯西中值定理

若\(f(x), \ g(x)\)满足：\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可导，\(g'(x) \not = 0\)则\(\exists \xi \in (a,b)\)，使\(\cfrac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \cfrac {f'(\xi)}{g'(\xi)}\).

证明如下：

令\(\cfrac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \cfrac {f'(x)}{g'(x)}\),

两边同时积分，得\([g(b) - g(a)]f(x) = [f(b) - f(a)]g(x)\),

取\(F(x) = [g(b) - g(a)]f(x) - [f(b) - f(a)]g(x)\),

\(F(a) = f(a)g(b) - f(b)g(a), \ F(b) = f(a)g(b) - f(b)g(a)\),

得\(F(a) = F(b)\), 由罗尔定理，\(\exists \xi \in (a,b)\)，\(F'(\xi ) = 0\)，即\(\cfrac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \cfrac {f'(\xi)}{g'(\xi)}\).

9 泰勒公式

若\(f(x)\)在\(x_0\)的某个邻域内（或者\((a,b)\)内）有\(n+1\)阶导数，则此邻域内的任意\(x\)，均有

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x- x_0)^n + remainder \]

• 拉格朗日余项 \(\cfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x- x_0)^{n+1}\)
• 佩亚诺余项 \(\omicron ((x - x_0)^n)\)

10 积分中值定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\exists \xi \in [a,b]\), 使\(\int_b^a f(x)dx = f(\xi)(b - a)\).

证明如下：

由题，设\(m,M\)为\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值、最大值，\(m \le f(x) \le M\),

则\(\int_b^a mdx \le \int_b^a f(x)dx \le \int_b^a Mdx\),

即\(m(b - a) \le \int_b^a f(x)dx \le M(b - a)\),

记\(\cfrac {\int_b^a f(x)dx}{(b - a)} = \mu\), 得\(m \le \mu \le M\),

由介值定理，\(\exists \xi \in [a,b]\), 使\(f(\xi) = \mu\).

因此，\(\exists \xi \in [a,b]\), 使\(f(\xi) (b - a) = \int_b^a f(x)dx\).