4.01背包问题
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
/**
* 0-1背包问题
* @param w w[index] 当前货物的总重量
* @param v v[index] 当前货物的总价值
* @param index 当前的货物号
* @param alreadyW 0--index 已做出决定，所形成的目前重量
* @param bag 可装的总重量
* @return 返回最大价值
*/
public static int process(int[] w,int[] v,int index,int alreadyW,int bag){
//base case 背高超重了，不能再放物品了
if(alreadyW>bag){
return -1;
}
//没有物品了
if(index==w.length){
return 0;
}
//当前物品不放所获得的最大价值
int p1=process(w,v,index+1,alreadyW,bag);
//当前物品放入背包所获得的最大价值
int p2=process(w,v,index+1,alreadyW+w[index],bag);
int pNext=-1;
if(p2!=-1){
pNext=v[index]+p2;
}
return Math.max(p1,pNext);
}
/**
* 0-1背包问题
* @param w 当前货物的总重量
* @param v 当前货物的总价值
* @param index 当前的货物号
* @param rest 剩余可装入的重量
* @return 返回最大价值
*/
public static int process(int[] w,int[] v,int index,int rest) {
//没有容量了
if (rest == 0) {
return 0;
}
//没有物品了
if (index == w.length) {
return 0;
}
int p1 = process(w, v, index + 1, rest);
int p2 = 0;
//放入当前物品的话，要判段容量是否够
if (rest >= w[index]) {
p2 = v[index] + process(w, v, index + 1, rest - w[index]);
}
return Math.max(p1, p2);
}
public static int bagDp(int[] w,int[] v,int rest){
int N=w.length;
int[][] dp=new int[N+1][rest+1];
for(int i=N-1;i>=0;i--){
for(int j=1;j<=rest;j++){
dp[i][j]=dp[i+1][j];
if(j-w[i]>=0){
dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
return dp[0][rest];
}
依然动规五部曲分析一波。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
- 确定递推公式
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- dp数组如何初始化
如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
- 确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
- 举例推导dp数组
最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
int wLen = weight.length, value0 = 0;
//定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值
int[][] dp = new int[wLen + 1][bagSize + 1];
//初始化：背包容量为0时，能获得的价值都为0
for (int i = 0; i <= wLen; i++){
dp[i][0] = value0;
}
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 1; i <= wLen; i++){
for (int j = 1; j <= bagSize; j++){
if (j < weight[i - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
}
}
}
//打印dp数组
for (int i = 0; i <= wLen; i++){
for (int j = 0; j <= bagSize; j++){
System.out.print(dp[i][j] + " ");
}
System.out.print("\n");
}
}
一维dp数组（滚动数组）
- 确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
- 一维dp数组的递推公式
此时dp[j]有两个选择，
一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，
一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- 一维dp数组如何初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
- 一维dp数组遍历顺序
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 0; i < wLen; i++){
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢？
倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒叙就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
（这里如果读不懂，就在回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。
- 举例推导dp数组
一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
416. 分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了
public boolean canPartition(int[] nums) {
int sum=0;
for(int num:nums){
sum+=num;
}
int aim=sum/2;
if(sum%2!=0){
return false;
}
return process2dp(nums,aim);
}
private boolean process(int[] nums,int index,int aim){
if(index==nums.length){
return aim==0;
}
return process(nums,index+1,aim) ||
(aim-nums[index]>=0 && process(nums,index+1,aim-nums[index]));
}
private boolean process2dp(int[] nums,int aim){
// index 0---n aim 0---aim
int n=nums.length;
boolean[][] dp=new boolean[n+1][aim+1];
dp[n][0]=true;
for(int i=n-1;i>=0;i--){
for(int j=0;j<=aim;j++){
dp[i][j]=dp[i+1][j];
if(j-nums[i]>=0){
dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i+1][j-nums[i]];
}
}
}
return dp[0][aim];
}
1049. 最后一块石头的重量 II
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
示例 3：
输入：stones = [1,2]
输出：1
416. 分割等和子集 相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。
在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum=0;
for(int s:stones){
sum+=s;
}
int target=sum>>1;
int res=process2dp(stones ,target);
return sum-2*res;
}
//151/2. =75.target. 151-2*dp[target] 求背包最多能装多少
// 31 26 21=78*2=156 33+40=73*2=146
//23 11. 11*2=22
//416. 分割等和子集 (opens new window)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。
//0--index rest 最多能装多少
private int process(int[] stones,int index,int rest){
if(rest<=0){
return 0;
}
if(index==stones.length){
return 0;
}
int p1= process(stones,index+1,rest);
int p2=Integer.MIN_VALUE;
if(rest-stones[index]>=0){
p2= process(stones,index+1,rest-stones[index])+stones[index];
}
return Math.max(p1,p2);
}
private int process2dp(int[] stones,int rest){
//N 0---N rest 0---rest
int N=stones.length;
int[][] dp=new int[N+1][rest+1];
for(int i=N-1;i>=0;i--){
for(int j=1;j<=rest;j++){//注意这里的大于小于号不要写错了
int p1=dp[i+1][j];
int p2=Integer.MIN_VALUE;
if(j-stones[i]>=0){
p2=dp[i+1][j-stones[i]]+stones[i];
}
dp[i][j]=Math.max(p1,p2);
}
}
return dp[0][rest];
}
}
494. 目标和
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
return process(nums,0,0,target);
}
//可以转化为求和为0 ，a,b,c,d 每个数字都可以下负转化
private int process(int[] nums,int index,int sum,int target){
if(index==nums.length){
return sum==target?1:0;
}
return process(nums,index+1,sum+nums[index],target)+
process(nums,index+1,sum-nums[index],target);
}
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
// l-r=target
// l+r=sum
// l-(sum-l)=target
//l=(sum+target)/2
//can find l in nums
//0...i j dp[i][j]
int sum=0;
for(int num:nums){
sum+=num;
}
if((sum+target)%2!=0) return 0;
int size=(sum+target)/2;
if(size<0) size=-size;
return process2dp(nums,size);
}
public int process2dp(int[] nums,int size){
int[] dp=new int[size+1];
dp[0]=1;
for(int i=0;i<nums.length;i++){
for(int j=size;j>=nums[i];j--){
dp[j]+=dp[j-nums[i]];
}
}
return dp[size];
}
}
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1：
输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3 输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2： 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1 输出：2 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
提示：
- 1 <= strs.length <= 600
- 1 <= strs[i].length <= 100
- strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
- 1 <= m, n <= 100
class Solution {
int size=0;
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
// return process(strs,m,n,0,0,0);
return process2dp(strs,m,n);
}
// 01 001 100. index sum_1<=m sum_0<=n
private int process(String[] strs,int m,int n,int index,int sum_1,int sum_0){
if(index==strs.length){
return 0;
}
if(sum_0>m && sum_1>n){
return 0;
}
int p1= process(strs,m,n,index+1,sum_1,sum_0);
String s= strs[index];
int sum1=0;
int sum0=0;
for(char c:s.toCharArray()){
if(c=='0'){
sum0++;
}
if(c=='1'){
sum1++;
}
}
int p2=Integer.MIN_VALUE;
if(sum0+sum_0<=m && sum1+sum_1<=n){
p2= process(strs,m,n,index+1,sum_1+sum1,sum_0+sum0) + 1;
}
return Math.max(p1,p2);
}
private int process2dp(String[] strs,int m,int n){
//index 0---strs.length(). sum0. 0---m sum1 0---n
int N=strs.length;
int[][][] dp=new int[N+1][m+1][n+1];
for(int i=N-1;i>=0;i--){
for(int j=0;j<=m;j++){
for(int k=0;k<=n;k++){
int p1=dp[i+1][j][k];
String s= strs[i];
int sum1=0;
int sum0=0;
for(char c:s.toCharArray()){
if(c=='0'){
sum0++;
}
if(c=='1'){
sum1++;
}
}
int p2=Integer.MIN_VALUE;
if(sum0+j<=m && sum1+k<=n){
p2= dp[i+1][sum0+j][sum1+k]+1;
}
dp[i][j][k]=Math.max(p1,p2);
}
}
}
return dp[0][0][0];
}
}
