【BZOJ】3505: [Cqoi2014]数三角形

题意

\(n * m(1 \le n, m \le 1000)\)的网格，求顶点在格点上三角形的个数。

分析

假设\(n \le m\)
\(ans = \binom{(n+1) * (m+1)}{3} - L\)，其中\(L\)表示三点共线的方案数。
所以

$$ \begin{align} L & = \frac{1}{2} \sum_{dx=0}^{n} \sum_{dy=0}^{m} \sum_{fx=0}^{n} \sum_{fy=0}^{m} (gcd(|dx-fx|, |dy-fy|)-1) \\ & = 2 \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} (gcd(i, j)-1) + (m+1) \binom{n+1}{3} + (n+1) \binom{m+1}{3} \\ & = 2 f(n, m) + (m+1) \binom{n+1}{3} + (n+1) \binom{m+1}{3} \\ \\ f(n, m) & = \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} \sum_{i=0}^{x} \sum_{j=0}^{y} (gcd(i, j)-1) \\ & = \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} \left( \sum_{i=0}^{x} \sum_{j=0}^{y} gcd(i, j) - x * y \right) \\ & = \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} (g(x, y) - x * y) \\ \\ g(n, m) & = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} gcd(i, j) \\ & = g(n, m-1) + \sum_{i=0}^{n} gcd(i, m) \\ & = g(n, m-1) + h(n, m) \\ \\ h(n, m) & = \sum_{i=0}^{n} gcd(i, m) \\ & = h(n-1, m) + gcd(n, m) \\ \end{align} $$

用这个$O(n^2 log n)$的是可以过的，所以就不用推下去了。

题解

分析已经推出一个\(O(n^2 log n)\)的做法，更优做法请自己推～

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
typedef long long ll;
int gcd(int a, int b) {
	return b?gcd(b, a%b):a;
}
int n, m;
ll G[N][N], f[N][N];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	ll ans=0, t=(n+1)*(m+1);
	ans=(t*(t-1)*(t-2)-(ll)(n+1)*n*(n-1)*(m+1)-(ll)(m+1)*m*(m-1)*(n+1))/6;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		for(int j=1; j<=m; ++j) {
			f[i][j]=f[i-1][j]+gcd(i, j);
			G[i][j]=G[i][j-1]+f[i][j];
		}
	}
	t=0;
	for(int x=0; x<=n; ++x) {
		for(int y=0; y<=m; ++y) {
			t+=G[x][y]-x*y;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans-t*2);
	return 0;
}