【BZOJ】3105: [cqoi2013]新Nim游戏

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3105

题意:k堆火柴,先手和后手在第一次拿的时候都能拿若干整堆火柴(但不能拿完),之后和nim游戏规则一样。问先手是否必胜且第一次最少拿多少能保证必胜。(k<=100)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans;
int s[105], a[105], n;
bool cmp(const int &a, const int &b) { return a>b; }
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	sort(a, a+n, cmp);
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		int t=a[i];
		for(int j=31; j>=0; --j) if((t>>j)&1) {
			if(!s[j]) { s[j]=t; break; }
			t^=s[j];
		}
		if(!t) ans+=a[i];
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

  

复(xue)习(xi)了下花神的冬令营课件。

先手只需保证拿完后不存在xor为0的子集即可,因此保证有解。

定义拟阵$M=(E, I)$,$E$就是给出的元素,权值为元素本身。$I = \{X | X \subseteq E, \forall Y \subseteq X 都满足xor意义下线性无关(即没有子集能xor为0)\}$。

那么本题就是求最大权值独立集(即最大权值的基)

证明$M$是一个拟阵:

遗传性:显然满足

独立集的交换性:令$A, B \in I$且$|A| > |B|$。由于$A$中元素线性无关,将$A$中元素按位放入矩阵,显然矩阵的秩为$|A|$。$B$同样,但是$B$的矩阵的秩$=|B|<|A|$,也就是说我们只需要将任意一个在$B$矩阵没有的位从$A$中找一个这个位为$1$的元素放入即可,使得$B$矩阵秩$+1$,因此$B$并上这个元素也是一个独立集,得证。

那么我们按权值排序从大到小加入即可~

如何判断线性无关呢?高斯消元(可以看做求秩矩阵)

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posted @ 2015-03-31 20:27  iwtwiioi  阅读(302)  评论(0编辑  收藏  举报