noip复习之数学（1）——基本计数

1.加法原理：

各个事件互相独立。做一件事有n种方法，第i种方法有pi种方案，则一共有p1+p2+p3+...+pn种方案。

2.乘法原理：

各个事件相互关联。做一件事有n个步骤，第i个步骤有pi种方案，则一共有p1p2p3...pn种方案。

3.容斥原理：

4.常见的计数问题

问题一：有n个不同的数，选k个排成一排，每个数最多选一次，问有多少种排列方法

\(ans=P(n,k)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*(n-k+1)=n!/(n-k)!\)(当n=k时为n!)

问题二：组合问题：同上，但无关顺序

​ \(ans=C(n,k)=n!/(m!(n-m)!)\)

​ 组合数的几大性质：1.\(C(n,0)=C(n,n)=1\)

​ 2.\(C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)\)

​ 3.\(C(n,k)=C(n,n-k)\)

​ 4.\(C(n,k+1)=C(n,k)*(n-k)/(k+1)\)

问题三：有k个元素，其中第i个元素有ni个，求全排列的个数

\(ans=(n1+n2+...+nk)!/(n1!*n2!*n3!*...*nk!)\)

问题四：有n个不同元素，每个元素可以选多次，一共选k个元素，有多少种方法

解答：设第i个元素选xi个，则问题转化为求x1+x2+...+xn=k的非负整数解的个数，令yi=x+1,则答案为y1+y2+...+yn=k+n的正整数解的个数，使用隔板法，则答案为C(k+n-1,n-1)=C(k+n-1,k)（即选n-1个位置放隔板，将其分成n部分）

\(ans=C(k+n-1,n-1)=C(k+n-1,k)\)

问题五：给定空间中n(n<=1000)个点，其中没有三点共线。每两个点之间都用红色或者黑色线段连接。求3条边同色的三角形个数。

分析：从反面考虑，求非单色三角形。在每个非单色三角形中，恰好有两个顶点连接两条异色边（不包含不在此三角形中的边）。如果一个顶点连接了ai条红边和n-1-ai条黑边，则这些边属于ai*(n-1-ai)个非单色三角形。又由于每个非单色三角形考虑了两次（对于d顶点，它与e定点一同连接了一条红边，若d,e,f三个顶点共同组成了一个非单色三角形，我们假设d和e分别连接了两条异色边，则此三角形一定被且只被计算了两次，见黑体字或画图尝试），故非单色三角形的个数为

\[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}a_i(n-1-a_i) \]

\[ans=\frac{n*(n-1)}{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^na_i*(n-1-a_i) \]

较难例题(UVa11401 Triangle Counting)

题意：

有多少种方法可以从1,2,3,...,n(n<=1e6)中选出3个不同的整数，使得以他们为三边长可以组成三角形

分析：写这道题的分析的时候已经是第三次看这道题了，尝试不看汝佳大神的题解自己口胡一遍。

​ 我们不妨先假设x为三角形中的最长边，且z<y<x，对于这样能组成三角形的三边x,y,z，一定满足三角形不等式，也即x-z<y<x<x+z，后面<=x+z的部分因为有了y<x，也就是我们假设的条件的存在，已经失去了其价值，所以我们可以大胆舍弃掉这个条件，所以最后得到的不等式应为x-z<y<x。

（注意一下以下过程中我们枚举的应是z的大小，因为这样才能确定出y的解的个数，这次又卡在这里了）

当z=1,y无解；

当z=2，y一解（y=x-1)

当z=3，y两解(y=x-1,y=x-2)

...

通过数学归纳法，我们可以发现当z=t时，y有t-1个解，所以最终答案为1+2+...+(x-2)+(x-1),然后你高兴地打完程序提交，结果却出乎意料，你在众多AC提交中成为了那鲜红的一抹WA

原因在哪里呢？关键就在于题干中所说的不同，我们得到的答案中包括了y=z的情况，同样重要的是我们把每个三角形都算了两遍，并没有完成z<y的约束，所以我们考虑剔除掉这些情况。

解决方法很简单（就怪了），对于每一个x，从y=x/2+1开始算起，到y=x-1为止，总共有

\[x-1-\lfloor \frac{x}{2} \rfloor=\lfloor\frac{x-1}{2}\rfloor \]

主要难理解这个式子的原因是向下取整，或许你自己写的时候是可以分奇偶讨论的，如：

\[x为奇数时，x-1-\frac{\left(x+1\right)}{2}+1=\frac{x-1}{2}\\ x为偶数时，x-1-\left(\frac{x}{2}+1\right)+1=\frac{x-2}{2} \]

令c(x)为最大边长为x的三角形的个数，则

\[c(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{(x-1)*(x-2)}{2}-\lfloor\frac{x-1}{2}\rfloor\right) \]

\(f(n)=c(1)+c(2)+...+c(n)=f(n-1)+c(n)\)