【LOJ】 #2540. 「PKUWC2018」随机算法

题解

感觉极其神奇的状压dp

\(dp[i][S]\)表示答案为i，然后不可选的点集为S
我们每次往答案里加一个点，然后方案数是，设原来可以选的点数是y，新加入一个点后导致了除了新加的点之外x个点不能选，那么方案就是把x个数在y - 1（由于空余位置的第一个要放我们选的那个点）个位置里任意排列，方案数是\(A^{y - 1}_{x}\)

复杂度是\(O(n^2 2^n)\)但是由于我们及时的break掉它跑的飞快= =

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define eps 1e-7
#define MAXN 3005
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {putchar('-');x = -x;}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}

const int MOD = 998244353;

int N,M;
int fac[25],invfac[25],inv[25];
int AD[25],dp[25][(1 << 20) + 5],cnt[(1 << 20) + 5],A[25][25];
bool vis[(1 << 20) + 5];
int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}
int mul(int a,int b) {
    return 1LL * a * b % MOD;
}
int inc(int a,int b) {
    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}
void Init() {
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= 20 ; ++i) inv[i] = mul(inv[MOD % i],MOD - MOD / i);
    invfac[0] = fac[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= 20 ; ++i) fac[i] = mul(fac[i - 1],i),invfac[i] = mul(invfac[i - 1],inv[i]);
    read(N);read(M);
    int u,v;
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) {
	read(u);read(v);
	AD[u] |= 1 << v - 1;
	AD[v] |= 1 << u - 1;
    }
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) AD[i] |= 1 << i - 1;
    for(int i = 1 ; i < (1 << N) ; ++i) cnt[i] = cnt[i - lowbit(i)] + 1;
}
void Solve() {
    vis[0] = 1;
    int c = 0;
    for(int i = 1 ; i < (1 << N) ; ++i) {
	for(int j = 1 ; j <= N ; ++j) {
	    if(i >> (j - 1) & 1) {
		if(!(AD[j] & (i ^ (1 << j - 1)))) {
		    vis[i] |= vis[i ^ (1 << j - 1)];
		}
		break;
	    }
	}
	if(vis[i]) c = max(c,cnt[i]);
    }
    for(int i = 0 ; i <= N ; ++i) {
	for(int j = 0 ; j <= i ; ++j) {
	    A[i][j] = mul(fac[i],invfac[i - j]);
	}
    }
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 0 ; i < N ; ++i) {
	for(int S = 0 ; S < (1 << N) ; ++S) {
	    if(!dp[i][S]) continue;
	    for(int j = 1 ; j <= N ; ++j) {
		if((1 << j - 1) & S) continue;
		dp[i + 1][S | AD[j]] = inc(dp[i + 1][S | AD[j]],
					   mul(dp[i][S],A[N - cnt[S] - 1][cnt[S | AD[j]] - cnt[S] - 1]));
	    }
	}
    }
    int ans = 0;
    for(int S = 0 ; S < (1 << N) ; ++S) {
	ans = inc(ans,dp[c][S]);
    }
    out(mul(ans,invfac[N]));enter;
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Init();
    Solve();
}