【LOJ】#2446. 「NOI2011」 NOI 嘉年华

题解

一道神奇的dp

我们发现关于两个东西的记录很难办，但是我们发现在固定时间区间内，如果A场地举办的活动数是一定的，那么B场地肯定举办的活动越多越好

我们预处理一个\(num[i][j]\)表示时间区间\([i,j]\)有多少个活动会在这个区间里举办（被区间完整包含）

\(pre[i][x]\)表示\([1,i]\)的时间内，A场地举办了x个活动，B场地最多能举办多少活动

这是一个\(n^3\)的dp
转移是
\(pre[i][x] = min(pre[j][x - num[i + 1][j]],pre[j][x] + num[i + 1][j])\)就是枚举一段区间放在A场地还是B场地

第一个答案就是对于每个i的\(min(pre[tot][x],i)\)的最大值

后面的答案相当于处理出\(f[i][j]\)这段区间被A占用，活动最少场地值最大是多少
然后对于\(f[i][j]\)统计成所有\(s <= i && j <= t\)的\(f[s][t]\)的最大值

\(f[i][j] = min(pre[i - 1][x] + suf[j + 1][y],x + y + num[i][j])\)
这是\(n^4\)的
但是如果从小到大枚举x，y的最优解是递减的，就是\(n^3\)的

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <cmath>
#include <bitset>
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
//#define ivorysi
#define pb push_back
#define MAXN 100005
#define mo 974711
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second

using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 - '0' + c;
	c = getchar();
    }
    res = res * f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) out(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}
int N,val[505],tot,pre[405][205],suf[405][205],num[405][405],f[405][405];
pii S[205];

void Init() {
    read(N);
    int x,y;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	read(x);read(y);y = x + y - 1;
	S[i] = mp(x,y);
	val[++tot] = x;val[++tot] = y;
    }
    sort(val + 1,val + tot + 1);
    tot = unique(val + 1,val + tot + 1) - val - 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	S[i].fi = lower_bound(val + 1,val + tot + 1,S[i].fi) - val;
	S[i].se = lower_bound(val + 1,val + tot + 1,S[i].se) - val;
    }
    for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) {
	for(int j = i ; j <= tot ; ++j) {
	    for(int k = 1 ; k <= N ; ++k) {
		if(S[k].fi >= i && S[k].se <= j) num[i][j]++;
	    }
	}
    }
}

void Solve() {
    for(int k = 0 ; k <= tot + 1; ++k) {
	for(int i = 0 ; i <= N ; ++i) {
	    pre[k][i] = suf[k][i] = -1000000000;
	}
    }
    pre[0][0] = 0;
    for(int k = 1 ; k <= tot ; ++k) {
	for(int j = 0 ; j < k ; ++j) {
	    for(int i = 0 ; i <= N ; ++i) {
		pre[k][i] = max(pre[j][i] + num[j + 1][k],pre[k][i]);
		if(i >= num[j + 1][k]) pre[k][i] = max(pre[k][i],pre[j][i - num[j + 1][k]]);
	    }
	}
    }
    suf[tot + 1][0] = 0;
    for(int k = tot ; k >= 1 ; --k) {
	for(int j = tot + 1 ; j > k ; --j) {
	    for(int i = 0 ; i <= N ; ++i) {
		suf[k][i] = max(suf[k][i],suf[j][i] + num[k][j - 1]);
		if(i >= num[k][j - 1]) suf[k][i] = max(suf[k][i],suf[j][i - num[k][j - 1]]);
	    }
	}
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	ans = max(ans,min(i,pre[tot][i]));
    }
    out(ans);enter;
    for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) {
	for(int j = i ; j <= tot ; ++j) {
	    int y = N;
	    for(int x = 0 ; x <= N ; ++x) {
		if(pre[i - 1][x] < 0) break;
		while(y > 0 && min(x + y + num[i][j],pre[i - 1][x] + suf[j + 1][y])
		      <= min(x + y - 1 + num[i][j],pre[i - 1][x] + suf[j + 1][y - 1])) --y;
		f[i][j] = max(f[i][j],min(x + y + num[i][j],pre[i - 1][x] + suf[j + 1][y]));
	    }
	}
    }
    for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) {
	for(int j = tot ; j >= 1 ; --j) {
	    f[i][j] = max(f[i][j + 1],f[i][j]);
	}
    }
    for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) {
	for(int j = 1 ; j <= tot ; ++j) {
	    f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j]);
	}
    }
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	out(f[S[i].fi][S[i].se]);enter;
    }
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Init();
    Solve();
}