ml 学习笔记1（Andrew Ng）梯度下降算法 单变量线性回归

监督学习与无监督学习

推荐使用：octave

一、单变量线性回归

1.1 模型表示

分类问题（一种监督学习方式），监督学习中的数据集被称为训练集

在之后的博客中，用小写的m表示训练样本的数目

代表学习算法的解决方案或函数称为假设

只含有一个特征/输入变量，叫做单变量线性回归问题

1.2 代价函数

选择的参数决定得到的直线相对于我们训练集的准确程度，模型预测值与训练集实际值之间的差距是建模误差

代价函数（使建模误差的平方和最小的模型参数）：

代价函数也被称作平方误差函数，有时也被称为平方误差代价函数。我们之所以要求出
误差的平方和，是因为误差平方代价函数，对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合
理的选择。还有其他的代价函数也能很好地发挥作用，但是平方误差代价函数可能是解决回
归问题最常用的手段了。 

1.3 代价函数的直观理解

 

（ps：需要等高线图的知识）在上图可以看到在三维空间里面使J最小的点

1.4 梯度下降

梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数 
J(θ0,θ1) 的最小值。 
梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合（θ0,θ1,...,θn），计算代价
函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到到到
一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定
我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，
可能会找到不同的局部最小值。 
 

批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为：

其中 α 是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方
向向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。 

在梯度下降算法中，还有一个更微妙的问题，梯度下降中，我们要更新 θ0 和 θ1 ，当 j=0 
和 j=1 时，会产生更新，所以你将更新 Jθ0 和 Jθ1。实现梯度下降算法的微妙之处是，在这
个表达式中，如果你要更新这个等式，你需要同时更新 θ0 和 θ1，我的意思是在这个等式中，
我们要这样更新： 
θ0:= θ0 ，并更新 θ1:= θ1。 
实现方法是：你应该计算公式右边的部分，通过那一部分计算出 θ0 和 θ1 的值，然后同
时更新 θ0 和 θ1。 
让我进一步阐述这个过程：

此更新是梯度下降中的一种常用方法。

1.5 梯度下降的直观理解

 

11111

 

对于这个问题，求导的目的，基本上可以说取这个红点的切线，就是这样一条红色的直
线，刚好与函数相切于这一点，让我们看看这条红色直线的斜率，就是这条刚好与函数曲线
相切的这条直线，这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度，现在，这条
线有一个正斜率，也就是说它有正导数，因此，我得到的新的 θ1，θ1 更新后等于 θ1 减去一
个正数乘以 α。 

如果 α 太小或 α 太大会出现什么情况： 
如果 α 太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果 α 太小的话，可能会很慢 因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。 
如果 α 太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果 α 太大，它会导致无法收敛，甚至发散。 

q：如果我们预先把 θ1放在一个局部的最低点，你认为下一步梯度下降法会怎样工作？

a：

假设你将 θ1初始化在局部最低点，在这儿，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。
结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优
点，它使得 θ1不再改变，也就是新的 θ1等于原来的 θ1，因此，如果你的参数已经处于局部
最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即
使学习速率 α 保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。 

理解图示：112

上图是代价函数，下面是梯度下降算法：

我想找到它的最小值，首先初始化我的梯度下降算法，在那个品红色的点初始化，如果我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。随着我接近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比，再小一点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。所以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，θ1 更新的幅度就会更小。所以随着梯度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发现，已经收敛到局部极小值。 
回顾一下，在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小 α。 
这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数 J，不只是线性回归中的代价
函数 J。 

 2.6 梯度下降的线性回归

梯度下降算法与线性回归算法的比较：

批量梯度下降：

批量梯度下降，指的是在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本，在梯度下降中，在计算微分求导项时，我们需要进行求和运算，所以，在每一个单独的梯度下降中，我们最终都要计算这样一个东西，这个项需要对所有 m 个训练样本求和。因此，批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一"批"训练样本，而事实上，有时也有其他类型的梯度下降法，不是这种"批量"型的，不考虑整个的训练集，而是每次只关注训练集中的一些小的子集。