二叉树的相关问题

百度百科

在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。

一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树。具有n个节点的完全二叉树的深度为log2(n+1)。深度为k的完全二叉树，至少有2^(k-1)个节点，至多有2^k-1个节点。

类型

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

(3)平衡二叉树——平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

遍历顺序

编辑

遍历是对树的一种最基本的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有结点，使每一个结点都被访问一次，而且只被访问一次。由于二叉树是非线性结构，因此，树的遍历实质上是将二叉树的各个结点转换成为一个线性序列来表示。

设L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树， 则对一棵二叉树的遍历有三种情况：DLR（称为先根次序遍历），LDR（称为中根次序遍历），LRD （称为后根次序遍历）。

先序遍历

首先访问根，再先序遍历左（右）子树，最后先序遍历右（左）子树，C语言代码如下：

voidXXBL(tree*root){
//DoSomethingwithroot
if(root->lchild!=NULL)
XXBL(root->lchild);
if(root->rchild!=NULL)
XXBL(root->rchild);
}

中序遍历

首先中序遍历左（右）子树，再访问根，最后中序遍历右（左）子树，C语言代码如下：

voidZXBL(tree*root)
{
if(root->lchild!=NULL)
ZXBL(root->lchild);//DoSomethingwithroot
if(root->rchild!=NULL)
ZXBL(root->rchild);
}

后序遍历

首先后序遍历左（右）子树，再后序遍历右（左）子树，最后访问根，C语言代码如下：

voidHXBL(tree*root){
if(root->lchild!=NULL)
HXBL(root->lchild);
if(root->rchild!=NULL)
HXBL(root->rchild);//DoSomethingwithroot
}

层次遍历

即按照层次访问，通常用队列来做。访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的层次越低）（两个子女的级别相同）

 

对二叉树三种遍历的分析

二叉树的遍历分为以下三种：

先序遍历：遍历顺序规则为【根左右】

中序遍历：遍历顺序规则为【左根右】

后序遍历：遍历顺序规则为【左右根】

什么是【根左右】？就是先遍历根，再遍历左孩子，最后遍历右孩子；

如下图：

先序遍历：ABCDEFGHK

中序遍历：BDCAEHGKF

后序遍历：DCBHKGFEA

以中序遍历为例：

中序遍历的规则是【左根右】，我们从root节点A看起；

此时A是根节点，遍历A的左子树；

A的左子树存在，找到B，此时B看做根节点，遍历B的左子树；

B的左子树不存在，返回B，根据【左根右】的遍历规则，记录B，遍历B的右子树；

B的右子树存在，找到C，此时C看做根节点，遍历C的左子树；

C的左子树存在，找到D，由于D是叶子节点，无左子树，记录D，无右子树，返回C，根据【左根右】的遍历规则，记录C，遍历C的右子树；

C的右子树不存在，返回B，B的右子树遍历完，返回A；

至此，A的左子树遍历完毕，根据【左根右】的遍历规则，记录A，遍历A的右子树；

A的右子树存在，找到E，此时E看做根节点，遍历E的左子树；

E的左子树不存在，返回E，根据【左根右】的遍历规则，记录E，遍历E的右子树；

E的右子树存在，找到F，此时F看做根节点，遍历F的左子树；

F的左子树存在，找到G，此时G看做根节点，遍历G的左子树；

G的左子树存在，找到H，由于H是叶子节点，无左子树，记录H，无右子树，返回G，根据【左根右】的遍历规则，记录G，遍历G的右子树；

G的右子树存在，找到K，由于K是叶子节点，无左子树，记录K，无右子树，返回G，根据【左根右】的遍历规则，记录F，遍历F的右子树；

F的右子树不存在，返回F，E的右子树遍历完毕，返回A；

至此，A的右子树也遍历完毕；

 

最终我们得到上图的中序遍历为BDCAEHGKF，无非是按照遍历规则来的；

 

快速获得二叉树三种遍历的方法：https://blog.csdn.net/xiaotan2011929/article/details/61427919

 

 遍历的性质

 两个二叉树遍历的性质： 
1、已知前序遍历和中序遍历，可以唯一的确定一个二叉树； 
2、已知后序遍历和中序遍历，可以唯一的确定一个二叉树；