数学公式渲染问题

显然，$y_i$ 加上 $c$ 可以看成是 $x_i$ 减去 $c$。

所以就变成了 $x_i$ 加上一个整数（可正可负）。

现将 $x$ 环拆成一个长度为 $2n$ 的序列 $a$（复制一遍），把 $y$ 环拆成一个长度为 $n$ 的序列 $b$。

那么旋转操作就可以看成是 $b$ 序列与 $a$ 序列中每一个长度为 $n$ 的子串匹配求值。

也就是说，求这个东西的最小值：$\sum_{j=0}^{n-1}(a_{i+j}-b_j+c)^2$（$0\leq i< n$）。

接下来推式子：（设 $x$ 环的和是 $suma$，$y$ 环的和是 $sumb$，$x$ 环的平方和是 $powa$，$y$ 环的平方和是 $powa$）

$\begin{aligned} &\min_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1}(a_{i+j}-b_j+c)^2\\ =&\min_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}(a_{i+j}-b_j)^2+c^2+2(a_{i+j}-b_j)c\\ =&\min_{i=0}^{n-1} [nc^2+\sum_{j=0}^{n-1}(a_{i+j}-b_j)^2+2c\sum_{j=0}^{n-1}(a_{i+j}-b_j)]\\ =&\min_{i=0}^{n-1} [nc^2+\sum_{j=0}^{n-1}(a_{i+j}^2+b_j^2-2a_{i+j}b_j)+2c(\sum_{j=0}^{n-1} a_{i+j}-\sum_{j=0}^{n-1} b_j)]\\ =&\min_{i=0}^{n-1} (nc^2+powa+powb-2\sum_{j=0}^{n-1}a_{i+j}b_j+2c(suma-sumb)) \end{aligned}$

发现 $powa+powb$ 是定值，而和 $c$ 有关的 $nc^2+2c(suma-sumb)$ 可以用二次函数最值 $O(1)$ 求，也就是说我们只需要求 $-2\sum_{j=0}^{n-1}a_{i+j}b_j$