线性代数 | 伪逆矩阵

伪逆矩阵

定义

伪逆矩阵（Moore-Penrose）是逆矩阵概念在非方阵或奇异矩阵上的推广，记为 \( A^\dagger \)。对于任意矩阵 \( A \in \mathbb{C}^{m \times n} \)，其伪逆矩阵 \( A^{\dagger} \in \mathbb{C}^{n \times m} \) 是唯一满足以下四个条件的矩阵：

1. \( AA^{\dagger}A = A \)
2. \(A^{\dagger}AA^{\dagger} = A^{\dagger}\)
3. \((AA^{\dagger})^* = AA^{\dagger}\)（\( AA^{\dagger} \) 是 Hermite 矩阵）
4. \((A^{\dagger}A)^* = A^{\dagger}A\)（\( A^{\dagger}A \) 是 Hermite 矩阵）

性质与计算

唯一性

伪逆矩阵 \(A^{\dagger}\) 唯一存在。

特殊情况的简化

1. 若 \(A\) 列满秩（\(\text{rank}(A)=n\)），则 \(A^{\dagger}= (A^*A)^{-1}A^*\)
2. 若 \(A\) 行满秩（\(\text{rank}(A)=m\)），则 \(A^{\dagger} = A^*(AA^*)^{-1}\)
3. 若 \(A\) 是可逆方阵，则 \(A^{\dagger} = A^{-1}\)

奇异值分解（SVD）法

对 \(A\) 的 SVD 分解 \(A = U\Sigma V^*\)（\(U,V\) 酉矩阵，\(\Sigma\) 对角阵），伪逆为：

\[A^{\dagger} = V\Sigma^{\dagger} U^* \]

其中 \(\Sigma^{\dagger}\) 将 \(\Sigma\) 非零元素取倒数后转置。

行空间与列空间

性质

1. \( AA^{\dagger} \)

   • 作用：将向量投影到 \( A \) 的列空间（即 \( \text{Col}(A) \)）。
   • 性质：
     • \( AA^{\dagger} \) 是一个 \( m \times m \) 的矩阵（若 \( A \) 是 \( m \times n \)）。
     • 若 \( A \) 是行满秩（即 \( \text{rank}(A) = m \)），则 \( AA^{\dagger} = I_m \)（单位阵）。
     • 一般情况下，\( AA^{\dagger} \) 是列空间的正交投影矩阵。

2. \( A^{\dagger}A \)

   • 作用：将向量投影到 \( A \) 的行空间（即 \( \text{Row}(A) \)）。
   • 性质：
     • \( A^{\dagger}A \) 是一个 \( n \times n \) 的矩阵（若 \( A \) 是 \( m \times n \)）。
     • 若 \( A \) 是列满秩（即 \( \text{rank}(A) = n \)），则 \( A^{\dagger}A = I_n \)（单位阵）。
     • 一般情况下，\( A^{\dagger}A \) 是行空间的正交投影矩阵。

几何意义

1. \(AA^{\dagger}\)

   • 给定 \(b \in \mathbb{C}^m\)，\(AA^{\dagger}b\) 计算的是 \(b\) 在 \(A\) 的列空间上的最佳逼近
   • 如果 \(b\) 已经在 \(\text{Col}(A)\) 内，则 \(AA^{\dagger}b = b\)

2. \(A^{\dagger}A\)

   • 给定 \(x \in \mathbb{C}^n\)，\(A^{\dagger}A x\) 计算的是 \(x\) 在 \(A\) 的行空间上的最佳逼近
   • 如果 \(x\) 已经在 \(\text{Row}(A)\) 内，则 \(A^{\dagger}A x = x\)

应用场景

1. 求解 最小二乘问题（如线性方程组 \(Ax=b\) 无解时，找 \(\|Ax-b\|_2\) 最小的近似解）
2. 处理 秩缺陷矩阵（如数据拟合、信号处理）

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