春训#1题解
无
A
难度： 900
合法的数字最高位一定不为 \(0\) ，这也就意味着低位只能全部为 \(0\) （如果有低位的话）。因此只需将最高位加一，其余位归零即可。
Code：
void solve() {
n = read();
int res = 1;
while (n / res >= 10) res *= 10;
int ans = ( n / res + 1 ) * res - n;
cout << ans << '\n';
}
B
题目大意： 现有 \(n\) 个取值 \(1\)，\(2\) 或 \(3\) 的三元组。存在和不为 \(6\) 的三元组的方案被视为合法方案。求合法方案数。
难度： 1500
要求的方案数就是：全部的方案数 \(-\) 所有三元组和均为 \(6\) 的方案数。
由于对于每个三元组而言，总方案数是 \(27\) ，和为 \(6\) 的方案数是 \(7\) ，故最终答案为 \(27^n - 7^n\)。
Code：
void solve() {
n = read();
int ans1 = 1, ans2 = 1;
FOR(i, 1, n) ans1 = ans1 * 7 % MOD;
FOR(i, 1, n * 3) ans2 = ans2 * 3 % MOD;
cout << (ans2 - ans1 + MOD) % MOD;
}
C
题目大意： 给定出入会记录的一部分。判断哪些人可能满足：会中有人时始终在会中。
难度： 1800
首先，显然全程未出现记录的人一定符合要求，且不影响其他人的判断。我们在分析过程中无视他们即可。
第一条记录是出会的人在片段开始前就在会中。因此只要有这样的球员存在，第一条记录是入会的人一定不符合要求。而如果这样的人不存在，可能符合要求的只剩第一个入会的人。
接着我们模拟出会入会的情况。以下两种情况会被取消资格：
- 出会时还有其他人在会中。
- 出会时会中没人，但紧接着有其他人入会。
模拟结束后仍然未被取消资格的人，或全程无记录的人是符合要求的人。
Code:
void solve() {
cin >> n >> m;
map<int, int> mp;
FOR(i, 1, m) {
cin >> c[i] >> a[i];
mp[a[i]] = 1;
}
int cnt = 0;
FOR(i, 1, m) {
if (c[i] == '+') {
b[a[i]] = 1;
} else {
if (!b[a[i]]) {
d[a[i]] = 1;
ans[a[i]] = 1;
cnt++;
b[a[i]] = 1;
}
}
}
if (cnt == 0) {
ans[a[1]] = 1;
d[a[1]] = 1;
}
FOR(i, 1, m) {
if (c[i] == '+') {
cnt++;
}
if (c[i] == '-') {
cnt--;
if (cnt > 0) ans[a[i]] = 0;
if (i != m) {
if (a[i + 1] != a[i]) {
ans[a[i]] = 0;
}
}
}
}
FOR(i, 1, n) if (mp[i] == 0) ans[i] = 1;
int tot = 0;
FOR(i, 1, n) if (ans[i]) tot++;
cout << tot << '\n';
FOR(i, 1, n) if (ans[i]) cout << i << " ";
}
D
题目大意： 定义一个排列的值是其字典序排名，排列求和的结果是，两排列值之和模排列总数的结果对应的排列。求指定两排列的和。
难度： 2000
这似乎是康托展开的板子题，不过在听讲评之前我并不知道。
注意到一个排列的排名可如下计算：
\[R_p = \sum _{i = 1} ^{n} (r_i - 1) (n - i)!
\]
其中 \(r_i\) 代表 \(p_i\) 在 \(p_k(k \geq i)\) 中的排名。因此也可知 \(r_i\leq n - i.\)
我们使用权值线段树记录到当前位置为止 \(x\) 是否还能选，则 \(x\) 的前缀和（不含 \(x\) ）即为 \(x\) 在剩下的数中的排名。
题目所求为两排列的排名之和，我们考虑以"各位分别相加+进位"的方法处理排名相加的过程。若进位至第零位，则正好满足了模 \(n!\) 的要求，无需处理。
进位完成后，只需再根据每一位在剩下数中的排名复原其值即可。这一操作赛时我通过二分查找+线段树来实现，时间复杂度 \(O(n\log^2n)\) ，未能通过此题。使用线段树上二分可将复杂度降至 \(O(n\log n)\) ，可以通过此题。
Code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i,j,k) for (int i = j; i <= k; i++)
#define ROF(i,j,k) for (int i = j; i >= k; i--)
int n, m, k;
inline int read() {
char ch = getchar(); int x = 0, f = 1;
while ((ch > '9' || ch < '0') && ch != '-') ch = getchar();
if (ch == '-') { ch = getchar(); f = - 1; }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}
template <class Info, class Tag> class SGT {
private:
#define l(p) (p << 1)
#define r(p) (p << 1 | 1)
#define mid (l + r) / 2
int n;
vector<Info> info;
vector<Tag> tag;
void pushup(int p) { info[p] = info[l(p)] + info[r(p)]; }
void pushdown(int p, int l, int r) {
addTag(l(p), l, mid, tag[p]);
addTag(r(p), mid + 1, r, tag[p]);
tag[p] = Tag();
}
void addTag(int p, int l, int r, const Tag &v) {
info[p].apply(v); tag[p].apply(v);
}
void rmodify(int p, int l, int r, int x, int y, const Tag &v) {
if (l > y || r < x) return;
if (r <= y && l >= x) { addTag(p, l, r, v); return; }
pushdown(p, l, r);
rmodify(l(p), l, mid, x, y, v);
rmodify(r(p), mid + 1, r, x, y, v);
pushup(p);
}
void pmodify(int p, int l, int r, int x, const Info &v) {
if (l == r) { info[p] = v; return; }
pushdown(p, l, r);
if (x <= mid) pmodify(l(p), l, mid, x, v);
else pmodify(r(p), mid + 1, r, x, v);
pushup(p);
}
Info query(int p, int l, int r, int x, int y) {
if (l > y || r < x) return Info();
if (r <= y && l >= x) return info[p];
pushdown(p, l, r);
return query(l(p), l, mid, x, y) + query(r(p), mid + 1, r, x, y);
}
int findkth(int p, int l, int r, int k) {
if (l == r) return l;
else {
pushdown(p, l, r);
if (info[l(p)].sum >= k) return findkth(l(p), l, mid, k);
else return findkth(r(p), mid + 1, r, k - info[l(p)].sum);
pushup(p);
}
}
public:
SGT(int _n) : n(_n), info(_n << 2), tag(_n << 2) {};
SGT(vector<Info> vc) : SGT(vc.size()) {
auto build = [&](auto self, int p, int l, int r) {
if (l == r) {
info[p] = vc[l];
return;
}
self(self, l(p), l, mid);
self(self, r(p), mid + 1, r);
pushup(p);
};
build(build, 1, 1, n);
}
void rmodify(int x, int y, const Tag &v) { rmodify(1, 1, n, x, y, v); }
void pmodify(int x, const Info &v) { pmodify(1, 1, n, x, v); }
Info query(int x, int y) { return query(1, 1, n, x, y); }
int findkth(int k) { return findkth(1, 1, n, k); }
};
struct Tag {
long long add;
Tag(): add(0) {}
Tag(int val): add(val) {}
void apply(Tag v) { add += v.add; }
};
struct Info {
int len;
long long sum;
Info(): len(1), sum(0) {}
Info(int val): len(1), sum(val) {}
void apply(Tag v) { sum += v.add * len; }
};
Info operator+(Info a, Info b) {
Info c;
c.len = a.len + b.len;
c.sum = a.sum + b.sum;
return c;
}
signed main() {
n = read();
vector<int> p(n + 1), q(n + 1);
vector<int> rp(n + 1), rq(n + 1), rk(n + 1);
vector<bool> vis(n + 1);
FOR(i, 1, n) p[i] = read() + 1;
FOR(i, 1, n) q[i] = read() + 1;
SGT<Info, Tag> tp(n), tq(n), tt(n);
FOR(i, 1, n) {
tp.pmodify(p[i], Info(1));
rp[i] = p[i] - tp.query(1, p[i]).sum;
tq.pmodify(q[i], Info(1));
rq[i] = q[i] - tq.query(1, q[i]).sum;
rk[i] = rp[i] + rq[i];
}
ROF(i, n - 1, 1) {
rk[i - 1] += rk[i] / (n - i + 1);
rk[i] %= (n - i + 1);
}
FOR(i, 1, n) tt.pmodify(i, Info(1));
FOR(i, 1, n) {
int u = tt.findkth(rk[i] + 1);
tt.pmodify(u, Info(0));
cout << u - 1 << " ";
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号