斯特灵数与卡特兰数初步
Ⅰ.第一类斯特林数
问题描述:表示把n个人分成m组做环排列的方法数目。，求分成的\(S(n,m)\)(方案数)。
如：1,2,3,4 和 4,1,2,3 只算一种方案。
\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+(i-1)*dp[i-1][j-1]\)
\(考虑第i个物品，i可以单独构成一个非空循环排列，这样前i-1种物品构成j-1个非空循环排列，方法数为dp[i-1][j-1]\)；
\(也可以前i-1种物品构成j个非空循环排列，而第i个物品插入之前每个物品的左边，这有(i-1)*dp[i-1][j]种方法\)。
Ⅱ.第二类斯特林数
问题描述:表示把n个数分成无区别的k组，求分成的\(S(n,m)\)(方案数)。
\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]*j\) (前i个数分成j组)
\(当分到第i个数分为j组时，可以前i-1个数分成j-1组，自己单独一组,也就是dp[i-1][j-1]\)
\(也可以前i-1个数已经分成了j组，然后第i个数可以分到j组的任意一组，也就是dp[i-1][j]*j\)
当然，如果把n个数分成有区别的m组，方案数是\(m!S（n,m）\),这个自己感性理解一下。
Ⅲ.卡特兰数
\(通项为f[n]=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)
在证明之前抛出一个问题:现在有长2n的01序列，0和1各有n个
选0表示出栈，选1表示入栈,问有多少种合法的选择顺序(也就是在任意时刻1要大于等于0)。
\(我们把0,1操作扔到一个坐标系中。1看成向右上方走一步，0看成向右下角走一步，那么最后构造完后一定走到了(2n,0)\)
\(那么非法步骤就是经过了x=-1。由于从(0,0)出发经过x=-1最后到达(2n,0),根据对对称性质等价于\)
\(从(0,-2)出发经过x=-1到达(2n,0),也就是在2n步中选n-1步往右下走,其余往右上走\)
所以，答案是\(C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)
