2个一维随机变量的关系的分布和一维变量的2种概率密度的乘积

令一维变量分别为 X₁ 和 X₂，概率密度函数分别为 f₁(x₁) 和 f₂(x₂)，分布为 F₁(x₁) 和 F₂(x₂)。

1. 2个一维变量分布（或概率密度）的乘积【 = f₁(x₁) * f₂(x₂) 】 为分量独立的二维变量 (X₁, X₂) 的联合分布（或概率密度）

　　假如2个一维变量都满足正态分布，则联合分布为二维独立的正态函数。参考n维正态变量的分布定义。

2. 2个一维变量的乘积【Z = X₁*X₂】的分布，一维变量的分布

　　假如2个一维变量都满足正态分布，则变量乘积的分布为第二类修正贝塞尔分布。如果X₁=X₂，则为卡方分布。参考2个变量的函数的分布(对X1,X2的联合概率密度在其乘积<=z的区间求2重积分)。

3. 一维变量的2种概率密度的乘积【 = f₁(x) * f₂(x) 】，本质不是分布，无法通过积分得到分布函数，针对相同的自变量

　　假如2种概率密度都是正态的，则乘积为正态概率密度的倍数（通常情况不是概率密度函数）。不具有对应的数学定义。

　　新的期望是两个旧的期望进行加权平均后得到的，新的方差则是像电阻并联一般小于任意一个旧的方差；倍数（常数）为变量相等对应的概率密度值，具体参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/454847359?utm_id=0

　　用于卡尔曼滤波，本质是

　　　　1) 求条件概率（由观测分布【z|x】得到后验分布【x|z】），具体参考《人工智能：一种现代的方法（第3版）》P489~P490

　　　　2) 最小方差估计，即等于量测为某一具体实现条件下的条件均值，参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/50765306

　　用于数据融合，本质是2个独立数据的线性组合(也是条件概率z=Hx+n)以最小方差准则求得的分布，具体参考 https://blog.csdn.net/Ronnie_Hu/article/details/111378283

 

另：2个随机变量的关系的分布计算 参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/340502318