正规矩阵

在数学中，正规矩阵 是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说， 满足

其中 是 的共轭转置。

 

若一 n 行 n 列的复矩阵 U 满足

其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:

。

所以酉矩阵是一种特殊的正规矩阵。

 

在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

但是正规矩阵并非只包括上述几类，例如下面的

是正规矩阵，因为：

.

矩阵 既不是酉矩阵，也不是埃尔米特矩阵或斜埃尔米特矩阵。

 

正规矩阵的概念十分重要，因为它们正是能使谱定理成立的对象：矩阵 正规当且仅当它可以被写成 的形式。其中的 为对角矩阵， 为酉矩阵：

。

矩阵 Λ 对角线上的元素是 A 的特征值，而组成 U 的列向量则是 A 相应的特征向量。

谱定理的一种陈述，是说正规矩阵正好是能在 的某个正交基下变成对角矩阵的那些矩阵（这里将矩阵同于 上的线性变换，并使用常用的内积）。另外一种说法为：矩阵是正规的当且仅当其特征向量能张成整个 ，并且两两正交。

注：本文的大部分内容来源于wikipedia中的相应概念。