数学物理方程知识点总结

课程提要

本门课程主要学习的是

• 数学物理方程：从具体的物理情景中推导建立偏微分方程方程，并结合定解条件采用对应解法求解。（关于解的存在性、唯一性和稳定性不在课程要求中。） 求解数理方程的解法大致有：分离变量法、行波法（又称 d'Alembert 解法）、积分变换法、格林函数法、变分法。
• 特殊函数：贝塞尔函数，勒让德多项式

两个主要概念：

• 偏微分方程：含有两个或多个自变量及其偏导数的微分方程。相对概念即常微分方程（仅处理一个变量的微分方程）。
• 定解条件：包括初始条件、边界条件和连接条件，通常是物理量在对应条件下的数值、一阶导或二阶导。（初学有个体会就好）

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建立典型方程并深入理解物理问题

弦振动问题

设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧而且除受不随时间而变的张力作用外，不受外力影响。下面研究弦作微小横向振动的规律。所谓“横向”是指全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于 \(x\) 轴的方向运动

如何根据以上情景建立方程？有哪些步骤？

• 理想假设

  • 均匀：密度 \(\rho\) 为常数
  • 柔软：不抗弯，非刚体
  • 细，微小振动：相对位移小
    

微小振动时 $\frac{\delta}{L}$ 与 1 相比可以忽略

• 选择合适的坐标系：以弦初始状态为 \(x\) 轴，垂直方向为 \(y\) 轴
• 选取合适的未知函数：需要描述这根弦上每一点的位移 \(u(x,t)\)，注意 \(u\) 与 \(x, t\) 相关
• 选取微元进行物理分析

弦自由振动：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$
受迫振动，\(f(x,t)=\frac{F(x,t)}{\rho}\)：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t).$$

自由振动下很容易拓展到多维，以三维为例：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 （\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}）= a^2 \Delta u,$$
其中 $\Delta_n = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 }{\partial x_i^2} $ 称为拉普拉斯算子。就是对算符后的函数取每个维度的二阶偏微分，然后加和。