二项式泰勒展开

好的，我们来详细解释一下 k₂ 在 (xₙ, yₙ) 点的泰勒展开过程。

背景知识：

在多元微积分中，泰勒展开可以将一个多元函数在某一点附近用多项式来近似。对于二元函数 f(x, y)，在 (x₀, y₀) 附近的二阶泰勒展开公式为：

f(x, y) ≈ f(x₀, y₀) + (∂f/∂x)(x₀, y₀)(x - x₀) + (∂f/∂y)(x₀, y₀)(y - y₀) +
          (1/2) (∂²f/∂x²)(x₀, y₀)(x - x₀)² + (∂²f/∂x∂y)(x₀, y₀)(x - x₀)(y - y₀) +
          (1/2) (∂²f/∂y²)(x₀, y₀)(y - y₀)² + ...

这里，∂f/∂x 表示 f 对 x 的偏导数，∂f/∂y 表示 f 对 y 的偏导数，以此类推。

回到题目：

我们有：

• k₂ = f(xₙ + h/2, yₙ + (h/2)f(xₙ, yₙ))
• 我们需要在 (xₙ, yₙ) 点对 k₂ 进行泰勒展开。

为了方便，我们令
* x' = xₙ + h/2
* y' = yₙ + (h/2)f(xₙ, yₙ)

则k₂ = f(x', y'). 在(xₙ,yₙ) 点进行泰勒展开：

f(x', y') ≈ f(xₙ, yₙ) + (∂f/∂x)(xₙ, yₙ)(x' - xₙ) + (∂f/∂y)(xₙ, yₙ)(y' - yₙ) + ...

接下来，我们将 x' 和 y' 代入展开式：

1. 处理 x' - xₙ：

   • x' - xₙ = (xₙ + h/2) - xₙ = h/2

2. 处理 y' - yₙ：

   • y' - yₙ = (yₙ + (h/2)f(xₙ, yₙ)) - yₙ = (h/2)f(xₙ, yₙ)

3. 代入泰勒展开：
   将以上结果代入到泰勒展开式，并省略二阶及更高阶的项，我们得到:

k₂ = f(xₙ, yₙ) + (∂f/∂x)(xₙ, yₙ)(h/2) + (∂f/∂y)(xₙ, yₙ) ((h/2)f(xₙ, yₙ)) + O(h²)

将 f(xₙ, yₙ) 写成 f， ∂f/∂x(xₙ, yₙ) 写成 fₓ，∂f/∂y(xₙ, yₙ) 写成 fᵧ, 则

k₂ = f + (h/2)fₓ + (h/2)f fᵧ + O(h²)

因为 y' = f(x,y), 我们可以得到y''=fₓ+fᵧy' = fₓ+fᵧf， 所以我们有

k₂ = y'(xₙ) + (h/2)y''(xₙ) + O(h²)

总结：

通过以上步骤，我们得到了 k₂ 在 (xₙ, yₙ) 点的泰勒展开式，直到一阶项。这个展开式是为了分析数值方法的局部截断误差，从而确定其精度。我们使用了一个二元的泰勒展开公式，并将 k₂ 的输入值表示成了 (xₙ, yₙ) 的函数形式，然后展开。希望这个详细的步骤对你有所帮助！