题解 洛谷 P6394 【樱花，还有你】

直接考虑 dp。令 \(dp[i][j]\) 表示到第 \(i\) 棵樱花树，摘了 \(j\) 片樱花的可能方案数。转移方程很显然，就是枚举在每个树下摘的几片樱花：

\[dp[i][j]=\sum_{k=0}^{min(a[i],j)}dp[i-1][j-k] \]

发现只有上一次会产生影响，所以把 \(i\) 滚动掉可以得到 80pts。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s;
const int mod=10086001;
int a[5003],dp[5003][2],ans;
int main()
{
    cin >> m >> n;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin >> a[i];
		s+=a[i];
	}
	if (s<m) 
	{
		printf("impossible");
		return 0;
	}
    dp[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
    	for (int k=0;k<=m;k++)
    	{
    		dp[k][i%2]=0;
    		for (int j=0;j<=a[i];j++) if (k-j>=0) dp[k][i%2]=(dp[k][i%2]+dp[k-j][(i-1)%2]%mod);
		}
		ans+=dp[m][i%2];
		ans%=mod;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

在此基础上考虑优化。很显然，转移方程里有求和的形式，可以想到前缀和。

先把 \(dp\) 改成一维的，令 \(s\) 是 \(dp\) 的前缀和，每次的 \(dp\) 可以由 \(s\) 推到过来。只要每次求一下 \(s\) 就好了。复杂度是 \(O(nk)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,sum;
const int mod=10086001;
int a[5003],dp[5003],s[5003],ans;
inline int read()
{
	char C=getchar();
	int F=1,ANS=0;
	while (C<'0'||C>'9')
	{
		if (C=='-') F=-1;
		C=getchar();
	}
	while (C>='0'&&C<='9')
	{
		ANS=ANS*10+C-'0';
		C=getchar();
	}
	return F*ANS;
} 
int main()
{
    m=read(),n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) 
	{
		a[i]=read();
		sum+=a[i];
	}
	if (sum<m) 
	{
		printf("impossible");
		return 0;
	}
    dp[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
    	s[0]=dp[0];
    	for (int k=1;k<=m;k++) s[k]=(dp[k]+s[k-1])%mod;
    	for (int k=0;k<=m;k++)
    	{
    		if (k-a[i]-1<0) dp[k]=s[k];
    		else dp[k]=(s[k]-s[k-a[i]-1]+mod)%mod;
		}
		ans+=dp[m];
		ans%=mod;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}