基于背诵的多项式学习笔记

缺省源

被我删了。

NTT

• 简介：推导咕咕咕了，我记得我两年前写过。现在还不如背呢。

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• 更新 \(rev\)：二进制，递推，ctz，\(i \lt rev_i\) 就 swap \(a\)。
• NTT：循环 \(p, m, d\)，代入 \(d\) 次单位根，长度 \(p\) 遍历，右乘单位根，右等于左减，左等于左加。
• DFT：\(s = 1\)。
• IDFT：\(s = -1\)，乘以 \(n^{-1}\)。
• 预处理单位根和单位根逆以及 \(rev\)。

\(\frac{1}{f(x)}\)

• 简介：牛顿迭代（常识）：\(h(x) = f(x) - \frac{1}{x}\)，\(h(g(x))\) 是零点，因此 \(g_{k+1}(x) = g_k(x) - \frac{h(g_k(x))}{h'(g_k(x))} = g_k(x) - \frac{f(x) - \frac{1}{g_k(x)}}{\frac{1}{g_k^2(x)}} = g_k(x)(2 - f(x)g_k(x))\)，迭代一次精度翻倍，\(\log n\) 次，主定理分析，\(n\log n\)。
• 另：\([x^n]g(x) = -\frac{1}{[x^0]f(x)}\displaystyle\sum_{i=1}^n [x^i]f(x)[x^{n-i}]g(x)\)，边界 \(g(0)\)。分治 NTT，\(n\log^2 n\)。

\(\frac{f(x)}{g(x)}\)

• \(f_{\rm R}(x) = x^nf(\frac 1x)\)。
• \(f_{\rm R}(x) = q_{\rm R}(x)g_{\rm R}(x) \pmod {x^{n-m+1}}\)。

\(\ln f(x)\)

• 简介：求导，\(g'(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\)。
• 另：\([x^n]g(x) = [x^n]f(x) - \dfrac 1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} [x^i]f(x)(n-i)[x^{n-i}]g(x)\)，分治 NTT，\(n\log^2 n\)。

\(e^{f(x)}\)

• 简介：求导，\(g'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) = g(x)f'(x)\)，分治 NTT 即可。
• 跑得比 1log 快。

\(f(x)^k\)

• \(e^{k\ln f(x)}\)。
• 不保证一些情况的下，提取公因式。

\((\sin / \cos)(f(x))\)

• 欧拉公式 \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\)，取一下和差就行了。
• \(i = w_4\)。

\((\arcsin / \arctan)(f(x))\)

• \[\arcsin f(x) = \int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}} \]

• \[\arctan f(x) = \int \dfrac{f'(x)}{1 + f(x)^2} \]

• 没有行内 \int 好难看。。。