03关于频响函数

1 定义：结构的输出响应的FFT和输入激励力的FFT之比。

我们通常所说的频响函数(Frequency Response Function，FRF)，它是结构的输出响应和输入激励力之比。我们同时测量激励力和由该激励力引起的结构响应（这个响应可能是位移、速度或加速度），将测量的时域数据通过快速傅立叶变换（FFT）从时域变换到频域，经过变换，频响函数最终呈现为复数形式，包括实部与虚部，或者是幅值与相位。 很多时候，为方便起见，我们将频响函数写成部分分式形式

我们常用矩阵形式来处理频响函数，所以用下标可以方便地确定某个输入-输出位置的FRF。例如由‘j’点输入激励引起‘i’点的输出响应，那么FRF中的元素为hij，定义为‘j’点单位激励力在‘i’点引起的响应。第一个下标表示输出响应位置，第二个下标表示输入激励位置。 FRF元素的分子中包含留数，而留数与模态振型直接相关；分母包含系统极点信息，也就是系统的频率和阻尼信息。因此，从频响函数矩阵可以得到系统全部的模态信息。频响函数矩阵中的单个元素可以写成（下标k表示阶数）

该方程主要由系统每一阶模态的留数（分子）和极点（分母）来描述。将频响函数用模态振型表示为

从这个方程可以清楚地看出FRF的幅值受输出响应位置的模态振型值乘以输入激励位置模态振型值的控制。这个频响函数可以用任何一个感兴趣的输入-输出组合来表示。 这个方程感兴趣的部分是留数和极点，虽然留数的改变依赖于特定的输入-输出组合，但是极点保持不变。这暗示着系统极点是全局特性，它们独立于特定的输入-输出位置。也就是说从一个输入-输出位置就能测量到系统的所有极点（频率和阻尼）信息。
因此，固有频率测量，理论上讲，只需要一个测量位置即可测量出所有的模态频率（实际测量时要避开节点位置）。 然而，留数却依赖于特定的输入-输出位置，随输入-输出位置的变化而变化。也就是说不同输入-输出位置的留数是不相同的，这就说明了为什么测试模态振型时，需要大量的测点。这是因为不同测点的留数是不同的，留数是局部特征，留数不同也就是振型值不同，因此，振型依赖于不同的测量位置，为了将振型唯一地描述出来，要求测点数目尽量多，通过这些测点位置的振型值能唯一地表征这些模态的振型。
当我们用模态振型写出这个方程时，结构的模态振型对于特定ij位置的FRF幅值有强烈的影响，这一点就变得非常清晰了。留数本质上由振型缩放系数，q，和响应输出位置的模态振型值乘以输入激励位置的模态振型值。这表示，如果输出位置或者输入位置的模态振型值为0（也就是位于模态节点上），那么这阶模态就没有幅值，这一点就变得非常清晰了。因此，模态参考点要避开节点。

2 FRF性质

频响函数FRF具有以下性质：
1) 频响函数定义为输入位置单位激励力引起的输出位置的响应。
2) 频响函数是系统的固有特性，与系统本身有关，与激励、响应等外界因素没有关系。
3) 频响函数具有互易性，即Hij=Hji，也就是说，‘j’点单位激励力在‘i’点引起的响应等于‘i’点单位激励力在‘j’点引起的响应，这也表明频响函数矩阵是对称的。
4) 频响函数是复值函数，因而可以用幅值与相位或者实部与虚部表示，因此频响函数具有幅频、相频和实频、虚频等多种表现形式。当幅频曲线和相频曲线同时显示时，称为伯德图，如下图所示。

5) 频响函数矩阵包括系统全部的模态信息，矩阵中每一行或每一列同样包含系统全部的模态信息。这些FRF由留数和系统极点组成，而留数直接与模态振型相关，极点包含系统的频率和阻尼信息。所以组成FRF的参数正是我们希望从FRF中提取的参数。这就是模态参数估计过程。通常我们通过数学运算从FRF中提取组成FRF的参数：频率、阻尼和模态振型。这个过程通常称为曲线拟合。提取的基本信息是模态振型和系统极点，而模态振型与留数矩阵相关，极点信息与系统矩阵的行列式相关（求特征值）。

3 FRF形式

在这主要介绍两个方面：FRF的表现形式和表达形式。表现形式是指可以用幅值与相位或实部与虚部来描述。而表达形式是指可以用加速度、速度或位移与激励力之比来表达。 由于频响函数是复值函数，因而可以用幅值与相位或者实部与虚部来表示，因此，频响函数具有幅频与相频和实频与虚频等多种表现形式，另外还要介绍一种特殊的图形表现形式即奈奎斯特图。 下面两图为同一个频响函数不同的表现显示：幅值与相位和实部与虚部。实质上实数与虚部是直角坐标下的复数形式，而幅值与相位是极坐标下的复数形式。因此，二者本质是相同的，只是采用的坐标系不同而已。人们对复数形式的频谱更易理解和更常见的是用幅值和相位的显示形式。

幅值和相位

实部与虚部

在幅值与相位图中，幅值的极值表征一阶模态，在模态频率处，相位变化180度（无阻尼结构）。在实部与虚部图中，在模态频率处，实部为0，虚部达到极值。另外，还有一点，早期有一种模态算法，称为峰值拾取法，就是把所有测点在某一阶的虚部峰值连接起来，即为这阶模态振型。
在这我们要记得一个结论：实模态的固有频率和复模态的固有频率相等，因此，二者的FRF重合。但是FRF的不同表现形式中，只有幅值谱是重合的，实部和虚部不重合，有偏移，如下图所示。如果这时用实部或虚部进行模态参数提取，就会出现频率提取不准确，而用幅值谱，则不存在这样的问题。因此，模态参数提取时用的是频响函数的幅值谱，而非实部和虚部（关于这一点后续会有文章说明原因）。

（a）幅值

（b）实部

（c）虚部

实模态和复模态频响函数对比

同一个复数形式的频谱还可以用之前两种方式之外的方式来表示：要么实部频谱对虚部频谱，要么幅值谱对相位谱。这类绘图形式，就是众所周知的奈奎斯特图，如下图所示，显示的还是之前那条频响函数

奈奎斯特图中每一点表示特定频率下的复数振幅。它描述的是特定点的响应的幅值和相位是如何随频率变化的。关于用奈奎斯特图显示FRF，在这里要说得更详细一些，因为大多数工程师对它都不太了解。
从之前显示的这条频响函数的幅值谱可以看出，在这个频带内有4阶模态。将该条频响函数用奈奎斯特图表示，如上图所示。奈奎斯特图中每一个圆表征一阶模态。在上图中有4个圆，对应于幅值图中的4阶模态。圆的大小对应幅值图中FRF峰值的幅值。也就是说，最大的圆对应的是第2阶（FRF幅值最高），幅值相位图中共振峰的幅值大小顺序对应于奈奎斯特图中圆的大小。并且，当光标位于共振频率处时，奈奎斯特图中的虚部是最大。

前面介绍的是FRF的表现形式，在这里再介绍FRF的表达形式。由于响应可以用位移、速度和加速度来表征，因此，当频响函数用不同的物理量来表征时，表征的物理意义也有所区别，具体如下表所示。我们经常测试动刚度，特别是原点动刚度，实质是基于频响函数测量方法进行的。并且通常测试时使用加速度作为响应，测量频响函数得到动刚度曲线。(?不是力/位移才是动刚度吗)下图为同一位置的加速度频响函数和该点的动刚度曲线。
从上图可以看出，频响函数极大值对应的是动刚度曲线的极小值，也就是说频响函数幅值大的频率处，动刚度小。在该频率处，很小的激励就容易把结构激励起来。而频响函数幅值小的频率处，动刚度大，结构很难或不能被激励起来。

4. 共振峰与反共振峰

在频响函数曲线中，共振频率所对应的峰称为共振峰，在这个峰值处，对结构施加很小的激励能量，结构就会产生非常大的振动，因而在共振峰处，结构很容易被激励起来。
当以dB形式显示频响函数时，特别当FRF为驱动点FRF时，会发现FRF曲线中有向下的峰值，这些峰称为反共振峰，如下图上面曲线所示，在线性显示的FRF中，看不出来反共振峰，如下图下面曲线所示。这是因为在反共振峰处，对应的幅值为0，在线性显示方式中，就看不出来反共振峰了。而以dB形式显示时，幅值越接近0，则dB值越小，因此，反共振峰明显。

在反共振峰所对应的频率处进行激励，即使激励能量再大，结构也没有响应或者响应很微弱，也就是说在反共振峰所对应的频率处，结构很难被激励起来。在这个频率处可以理解为结构的刚度无限大，其实从上图中也可以看出这一点。
因此，当外界的激励频率处于结构的反共振峰处时，外界激励对结构的影响是最小的。这有点类似于激励位置位于结构的模态节点处时，外界的激励对结构影响也是最小的。但二者的区别在于一个是按频率来区分的，一个是按位置来区分的。

若不考虑输入输出噪声，则共振峰处所对应的相干等于1，这是因为结构的响应完全是由激励引起的，而在反共振峰处，相干很小（相干系数下坠），这是因为此时响应和激励之间，二者没有因果关系，所以相干很小。 因为在反共振峰处，即使激励力再大，结构也没有响应或者响应很微弱，所以，响应与激励之间不存在因果关系，因而，相干系数往下掉。

5. 单自由度FRF

单自由度模型只有一阶模态，因此，FRF只有一个峰值。单自由度的FRF如下或为

单自由度的频响函数如下图所示。
在低频段，FRF的幅值是1/k，(k>>w2m+jwc)，相位为0，表明共振频率以下的频率段主要用占主导地位的刚度项来描述。
在高频段，FRF的幅值为-1/w2m (w2m>>jwc+k)，相位为 -180º，表明共振频率以上的频率段主要用占主导地位的质量项来描述。
理论上，无阻尼固有频率处的FRF幅值应是无穷大，但是由于阻尼的存在，导致共振频率处的幅值不会无穷大，其幅值为1/wc，相位突变180º，表明在共振频率处主要受阻尼控制。

 

 以上来自

《什么是频响函数FRF（一）？》

《什么是频响函数FRF（二）？》

6. 驱动点FRF与跨点FRF

　　驱动点FRF性质：

• 共振峰与反共振峰交替出现（反共振频率处相邻两个模态在测点处幅值相等，相位相反，叠加得到反共振峰；但是，相邻两模态中有一个峰比较小，那么他们的叠加可能会被后面紧邻的大峰叠加，导致原来的反共振峰被淹没，这时候就没有这个反共振峰了）
• 经过一个共振峰时相位滞后180°，经过一个共反振峰时相位超前180°
• FRF虚部所有峰值方向相同

　　跨点FRF性质：

• 共无反共振峰出现，FRF曲线呈马鞍状
• 经过一个共振峰时相位滞后180°
• FRF虚部峰值方向有正有负

7. 力锤FRF与激振器FRF

　　力锤指的应该是移动力锤法，得到FRF矩阵的一行，激振器得到FRF矩阵的一列（不就是力锤移动传感器法），而FRF矩阵是对称矩阵，因此理论上没有区别。

　　（我的理解，力锤激励是单位脉冲函数，响应即传递函数；激振器激励是阶跃函数，是一个低通滤波器。这么看还是有区别的？）

8. FRF计算

　　测得的时域数据FFT变换到频域，然后再将频域数据平均（是这样吗？还是先平均时域数据，还是在求出各个谱函数之后再平均），然后计算输入自谱、输出自谱、输入输出互谱。假设输入没有噪声，输出有噪声，则用H1估计（互谱/输入自谱，相当于FRF基础上分子分母同乘输入）；假设输出没有噪声，输入有噪声，则用H2估计（输出自谱/互谱）；都有噪声，则有Hv估计。

9. FRF影响因素

　　增大刚度，低频段FRF幅值降低；增大质量，高频段FRF幅值降低；增大阻尼，降低共振点处的幅值。

《传递函数、频响函数和传递率的区别是什么？》

10. 传递函数与频响函数

　　人们经常将频响称为传函，如力振传函实际上是频响。

　　传函：输出的拉氏变换/输入的拉氏变换。自变量时复数域，实部虚部可表示任何物理量。

　　频响：响应的傅氏变换/激励力的傅氏变换。对应于传函的实部为0时的一个切面。自变量时频域，实只能表示频率。响应可以是振动、噪声、应变。

　　传递率：响应与参考点响应之比。响应与参考点响应的互谱/参考点自谱。(应用于工作模态分析、TPA计算各传递路径的贡献量)