素数线性筛、欧拉函数线性筛

这俩算法，可以在线性时间内，筛素数的同时，求出所有数的欧拉函数。

参考博客：

素数线性筛原理：https://www.cnblogs.com/xiaodeshan/p/7811344.html

素数线性筛代码实现：https://blog.csdn.net/litoupu/article/details/11020885

素数线性筛扩展到欧拉函数线性筛：https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/77509425

一、线性素数筛

线性素数筛原理：

原始的埃氏筛选法，效率已经不低了，但是会有很多的重复计算，即一个数会被多次踢出，浪费了计算时间。

现在，线性素数筛，可以保证，每个合数只被踢出一次。

即，保证每个合数，都被其最小的质因数筛去。

实现方法是：

如果当前数 i，被发现可以整除某个已经确定了的质数，那么当前数 i 就不必再往下看了，直接break，进入下一个数。

为什么可以这样做呢？

因为这样一来，当前数 i 就可以被确定是一个合数；

任意一个合数和一个质数的乘积，都可以用一个更大的合数和一个更小的质数的乘积表示；

当前数 i 本来可以构成的所有合数（ i*prime[0] , i*prime[1] , i*prime[2] ……），都肯定之前已经被踢出过了，不必再重复计算了

（每个合数必有一个最小素因子，每个合数肯定能够由素数的相乘得到。）

（每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。）

线性素数筛模板：

bool is_prime[MAX];   //记录每个数是否为素数
void makePrime2()
{
    vector<int> prime;    //存储到现在为止，所有已经确定的素数
    memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
    for(int i=2;i<=MAX;i++)    //从i=2开始（乘两倍起步）
    {
        if(is_prime[i]==0)
            prime.push_back(i);
        
        for(int j=0; j<prime.size() && i*prime[j]<=MAX; j++)   //最大筛到MAX为止
        {
            is_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}

解释：

1：各个数组的意义：

is_prime [MAX]：记录每个数是否为素数

vector<int> prime: 存储到现在为止，所有已经确定的素数

2：最外层for循环的意义：

i=2 就表示，所有现在已经确定的素数（vector prime 里面所有的数），每一个都乘2，所得的数，全部筛掉

i=3 就表示，所有现在已经确定的素数，每一个都乘3，所得的数，全部筛掉

…………

3：请注意第十五行的 break ，这里是精髓。

具体为什么写，见上方“线性素数筛原理”。

二、欧拉函数线性筛

欧拉函数线性筛原理：

欧拉函数线性筛，代码基本和素数线性筛一样，只不过是在筛出素数的时候，顺便在同时，筛出各个数的欧拉函数值

利用素数合数信息，推出欧拉函数值的方法：（欧拉函数的几条性质）

1：当 $n$

$n$

$n$

（在素数线性筛的基础上改造，一边筛选素数，一边顺便利用性质，算出每个数的对应的欧拉函数值）

vector<int> prime;    //记录看到现在为止的每个素数
bool is_prime[maxn+5];    //记录每个数是否是素数
int phi[maxn+5];     //存储每个数对应的欧拉函数值
void init()
{
    memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
    
    phi[1]=1;   //赋初始值：phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(is_prime[i]==0)
        {
            prime.push_back(i);
            phi[i]=i-1;     //参考性质1
        }
        
        for(int j=0;j<prime.size() && i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            is_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];     //这里好好理解一下
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);   //参考性质2
            }
        }
    }
    
}

欧拉的应用实例：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6434

posted on 2018-09-12 13:45 _isolated 阅读(161) 评论(0) 收藏举报