树状数组

 一、模板

默认预设：

a[maxn]  ———原始数组

c[maxn]  ———新建的树状数组。对于任意一个位置 i ，树状数组 c[i] 里的值就是"它能管理到的所有位置上，原数组的值之和"。

基本函数一：lowbit

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

 x+lowbit（x），就可访问到x的上一级父节点；

 

基本函数二：upgrade

当我们修改a数组中的某一个值时  应当如何更新c数组呢？答案就在这里

upgrade函数，用于单点更新：当原数组a中，下标为x的位置被+k的时候，只需要把"能管理到x的所有位置"都+k就行

调用函数：upgrade(c,x,k)

void upgrade(int *arr,int x,int n)//n为：树状数组的节点总数，也是原数组的节点总数
{                    //k为：当前被更新的节点，在原数组a中的下标值
    while(x<=n)
    {
        arr[x]+=k;
        x=x+lowbit(x);
    }
}

 

ps：经常用这个函数，来构建初始树状数组。一边读入原数组a，一遍就更新树状数组c

构建树状数组的时候：自底向上，每一个数都把它能做的贡献做了。

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            int k=i;
            while(k<=n)
            {
                c[k]+=a[i];
                k=k+lowbit(k);
            }

        }

 

 

基本函数三：getsum

用于区间查询：查询原数组 a 从1~x 区间上的和。利用c[i]数组，求a数组中前i项的和。

利用树状数组对a求和的时候：自顶向下

 调用函数：getsum(c,x)

int getsum(int *arr,int x)
{
    int ans=0;
    while(x>0)
    {
        ans+=arr[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

 

拓展应用：也可以被用来查询任意区间l~r上的和，只需sum(r)-sum(l) 即可。

 

模板使用时的注意点 && 进阶小技巧

1）：所有数组，无论是 a [i] , c[i] ,还是 cx [i] 数组，一律从下标 1 开始存起，下标为0的位置不存数据。

      这一点很重要，如果下标从0开始，那么getsum中while(x>0)就必须改成while(x>=0)(因为0号位的数据也要加进去嘛)

      但问题是，0+lowbit(0) ，永远都是0。这样一来，在 0 处就会产生死循环,

2）：如何确定，upgrade（c,x,k）中的x、k参数，即：传入哪个下标，每个位置加多少？？

      确定传入的下标x：从哪个下标开始，此下标之后所有位置 i 的sum(i)，都会受到a[x]被更新的影响？

　　确定每一个结点加的数k：此次focus的结点，对最终答案sum的贡献，有多大？

      一般而言，k都是原数组a[i]的数据值本身。

3）：getsum（c,x）得出的累加和，是包含了原数组中a[x]的。（末尾数据也算进了getsum返回的累加和）

4）：到底是先upgrade，还是先getsum？：这取决于，调用sum（x）时，你想要求的，是“小于”还是“小于等于”x的累加和。

　    如果有“等于”，要把x位置加上去，那就先upgrade，先更新过再加；否则，如果不要把x位置加上去，那就先getsum，趁

　　 着还没x位置还没被加到数组上去，先sum

 

二、基本题型（以及三个基本模型）

模型一：原数组a[i]的数据域，存储的就是数值本身，用于sum来求：区间l到r上的所有数字的累加和

模型二：原数组a[i]的数据域，存储的是“差分值”，用于sum来求：插段求点

模型三：原数组a[i]的数据域，不存储具体的数值，而存储“数值 i 出现的次数”，用于sum来求：“ 小于 ‘等于’ i 的数字，到目前为止，出现的次数之和”

 

一、插点求段  （更新单点，查询区间）                              　　 ——————模型一

我的通常做法是：单点向上更新，sum（代表1~n的和）向下查询

专题10 1001

 

二、插段求点（更新的是 “区间” ，查询的是 “单点”————成段更新，单点查询）　 ——————模型二

差分思想。

原数组a[i],存储的是，第i个数值和第i-1个数值之差。

把“更新区间”转换成“更新两个点”

http://www.cnblogs.com/iris001999/articles/8926598.html

 

三、插段求段                    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　               ————模型二

 依旧是差分。

 

 小应用：

一、用树状数组求逆序对　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　              ————模型三

由此引出树状数组的另一种常见模型：

 原数组a[i]，不存储具体的数值，而存储“数值 i 出现的次数”。 

具体的数值，由下标表示。数组下标具有实际意义：代表数值大小。

例如，"a[i]"存储的值就表示，数值 i 出现的次数。

然后，构建原数组a[i]的树状数组c[i] , 最后sum（c , i）的结果，就代表：“ 小于 ‘等于’ i 的数字，到目前为止，出现的次数之和”。 

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556

扔下大佬的题解：https://www.cnblogs.com/xiongmao-cpp/p/5043340.html

AC代码：https://paste.ubuntu.com/p/N9SQrGK5Kx/

 

三、树状数组综合应用：

树状数组综合题的解题思路：

先想总体思路，先把最终的表达式子推出来。

因为树状数组归根结底，只是一种 累加的“具体实现”上的优化，并不是思路的东西。

然后看着你最终得出的那个式子

只要发现：有累加形式，并且累加式子里的每一项，是有规律的，是可以给出“通项公式”的，就代表此处可以优化。

而且，可以构建多个树状数组。多出来的树状数组，不会增加很多复杂度，只需要在更新的时候“顺带着更新一下多出来的其他树状数组”，就可以了。

看自己需求，需要几个树状数组，就维护几个树状数组就可以了。

经典题目：